Kalkulator Transformasi Fourier

Kategori: Kalkulus

- 21 Julai 2025

| |

Kira dan visualkan transformasi Fourier untuk menganalisis isyarat dalam domain frekuensi. Kalkulator ini membantu jurutera, saintis, dan pelajar memahami komponen frekuensi isyarat domain masa dan melaksanakan pelbagai operasi pemprosesan isyarat.

Input Isyarat

Kaedah Input:

Pilih cara anda ingin memasukkan isyarat anda

Jenis Transformasi:

Pilih jenis transformasi Fourier untuk dilaksanakan

Ungkapan Fungsi:

Gunakan t sebagai pemboleh ubah masa, PI untuk π

Masa Mula:

Masa Tamat:

Bilangan Sampel:

Kuasa 2 disyorkan untuk FFT

Opsyen Transformasi

Fungsi Tetingkap:

Gunakan tetingkap untuk mengurangkan kebocoran spektrum

Zero Padding:

Tambah sifar untuk meningkatkan resolusi frekuensi

Opsyen Paparan

Skala Magnitud:

Julat Frekuensi:

Tunjukkan spektrum fasa

Tunjukkan isyarat domain masa

Mengenai Transformasi Fourier

Transformasi Fourier adalah teknik matematik yang menguraikan isyarat kepada frekuensi komponennya. Ia menukar isyarat domain masa kepada perwakilan domain frekuensi, mendedahkan komponen frekuensi yang membentuk isyarat asal.

Konsep Utama

Domain Masa vs. Domain Frekuensi: Domain masa menunjukkan bagaimana isyarat berubah mengikut masa, manakala domain frekuensi menunjukkan amplitud dan fasa setiap komponen frekuensi.
Diskret vs. Berterusan: Transformasi Fourier Diskret (DFT) digunakan untuk data yang disampel, manakala Transformasi Fourier Berterusan digunakan untuk fungsi berterusan.
Transformasi Fourier Pantas (FFT): Algoritma cekap untuk mengira DFT, mengurangkan kerumitan pengiraan daripada O(n²) kepada O(n log n).
Kebocoran Spektrum: Fenomena di mana tenaga daripada satu frekuensi "bocor" ke dalam bin frekuensi bersebelahan disebabkan oleh panjang data yang terhad.
Fungsi Tetingkap: Fungsi matematik yang digunakan pada isyarat untuk mengurangkan kebocoran spektrum dengan kos resolusi frekuensi.

Formulasi Matematik

Transformasi Fourier Diskret (DFT) diberikan oleh:

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j2\pi kn/N} \]

di mana:

\( x[n] \) ialah isyarat input pada masa \( n \)
\( X[k] \) ialah output DFT pada frekuensi \( k \)
\( N \) ialah bilangan sampel
\( j \) ialah unit khayalan

Transformasi Fourier Diskret Songsang (IDFT) diberikan oleh:

\[ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \cdot e^{j2\pi kn/N} \]

Aplikasi

Pemprosesan Isyarat: Penapisan, pemampatan, dan analisis spektrum
Analisis Audio: Penyesuai, pengecaman suara, dan pemprosesan muzik
Pemprosesan Imej: Penapisan, pengekstrakan ciri, dan pemampatan
Komunikasi: Modulasi, nyahmodulasi, dan analisis saluran
Analisis Getaran: Mengenal pasti resonans mekanikal dan kerosakan
Fizik Kuantum: Analisis fungsi gelombang dan pengkomputeran kuantum

Penafian: Kalkulator ini menyediakan pelaksanaan transformasi Fourier untuk tujuan pendidikan dan penggunaan umum. Untuk aplikasi kritikal yang memerlukan ketepatan tinggi, perisian saintifik khusus atau perpustakaan pemprosesan isyarat yang komprehensif harus digunakan. Resolusi frekuensi adalah terhad oleh parameter pensampelan dan tertakluk kepada kekangan teorem pensampelan Nyquist-Shannon.

Transformasi Fourier Diskret (DFT):

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j2\pi kn/N} \]

DFT Songsang:

\[ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \cdot e^{j2\pi kn/N} \]

Apakah Kalkulator Transformasi Fourier?

Kalkulator Transformasi Fourier ialah alat interaktif yang membantu anda menganalisis isyarat dengan memecahkannya kepada komponen frekuensi. Ia menukar isyarat domain masa kepada representasi domain frekuensi, menjadikannya lebih mudah untuk memahami corak, mengesan frekuensi dominan, dan menjalankan pemprosesan isyarat.

Mengapa Menggunakan Kalkulator Ini?

Alat ini sangat berguna untuk:

Mengenal pasti frekuensi dominan dalam isyarat kompleks
Memvisualisasikan bagaimana isyarat berkelakuan sepanjang masa dan merentasi frekuensi
Memahami ciri spektrum seperti fasa dan magnitud
Mempelajari teknik pemprosesan isyarat seperti fungsi tingkap dan penambahan sifar
Kegunaan pendidikan dalam matematik, fizik, kejuruteraan, dan analisis audio

Cara Menggunakan Kalkulator Transformasi Fourier

Ikuti langkah-langkah ini untuk melakukan Transformasi Fourier pada isyarat anda:

Pilih Kaedah Input: Pilih daripada input fungsi, titik data, isyarat pratakrif, atau muat naik fail.
Masukkan Butiran Isyarat: Bergantung pada kaedah, masukkan ekspresi fungsi anda, data, atau pilih jenis isyarat.
Pilih Jenis Transformasi: Pilihan termasuk Transformasi Fourier Diskret (DFT), Transformasi Fourier Pantas (FFT), atau anggaran Transformasi Fourier Berterusan.
Suaikan Tetapan Transformasi: Gunakan fungsi tingkap dan penambahan sifar untuk mengawal resolusi dan mengurangkan artifak.
Tetapkan Pilihan Paparan: Pilih untuk menunjukkan magnitud pada skala linear atau logaritma, tetapkan julat frekuensi, dan togol plot masa atau fasa.
Klik "Kira Transformasi Fourier": Lihat plot domain masa dan domain frekuensi, komponen frekuensi dominan, dan analisis spektrum.
Eksport Data atau Plot: Simpan analisis anda untuk laporan atau kajian lanjut.

Manfaat dan Aplikasi

Alat ini menyokong pembelajaran dan analisis profesional dalam bidang seperti:

Kejuruteraan Audio: Menganalisis nada, harmonik, dan bunyi.
Getaran Mekanikal: Mengesan resonans dan mendiagnosis kerosakan.
Sistem Komunikasi: Memeriksa isyarat termodulasi seperti AM dan FM.
Alat Pendidikan: Melengkapi kalkulator derivatif seperti Kalkulator Derivatif Separa, Alat Derivatif Kedua, dan Alat Derivatif Arah.
Pembelajaran Matematik: Sesuai dengan kalkulator integral, penyelesai derivatif, dan alat spektrum untuk memahami bentuk gelombang.

Soalan Lazim (FAQ)

Apakah jenis isyarat yang boleh saya analisis?

Anda boleh memasukkan fungsi matematik, mengimport data sebenar, memilih daripada isyarat pratakrif (contohnya, sinus, segi empat, bunyi), atau memuat naik fail.

Apakah perbezaan antara DFT dan FFT?

DFT ialah kaedah standard untuk menukar data domain masa kepada domain frekuensi. FFT ialah versi yang lebih pantas, dioptimumkan untuk kecekapan pengiraan—sesuai untuk set data yang besar.

Bagaimana fungsi tingkap membantu?

Fungsi tingkap seperti Hamming atau Hann mengurangkan kebocoran spektrum, menjadikan plot frekuensi lebih tepat, terutamanya untuk isyarat pendek.

Mengapa menggunakan penambahan sifar?

Penambahan sifar meningkatkan resolusi frekuensi dengan memanjangkan panjang isyarat, yang membolehkan perincian frekuensi yang lebih halus dalam output.

Bolehkah ini menggantikan perisian analisis isyarat profesional?

Kalkulator ini sesuai untuk pembelajaran, ujian, dan penggunaan umum. Untuk aplikasi kritikal atau berketepatan tinggi, perisian khusus disyorkan.

Kalkulator Berkaitan yang Mungkin Berguna

Untuk analisis yang lebih maju atau berkaitan, terokai alat berikut:

Kalkulator Derivatif Separa: Hebat untuk pembezaan multivariable dan pengiraan derivatif separa.
Kalkulator Derivatif: Selesaikan derivatif dengan cepat secara dalam talian dengan hasil langkah demi langkah.
Kalkulator Antiderivatif: Selesaikan integral dan cari antiderivatif untuk pelbagai fungsi.
Kalkulator Derivatif Kedua: Lakukan analisis derivatif peringkat kedua untuk wawasan lengkung yang lebih mendalam.
Kalkulator Derivatif Arah: Analisis bagaimana fungsi berubah dalam arah tertentu merentasi permukaan.

Kesimpulan

Kalkulator Transformasi Fourier memudahkan pemahaman tingkah laku isyarat dengan mendedahkan komponen frekuensinya. Sama ada anda mempelajari asas atau meneroka analisis isyarat lanjutan, alat ini menawarkan cara visual dan intuitif untuk meneroka kuasa transformasi Fourier.