Kalkulator Pangkalan Tangen

Kategori: Kalkulus

- Mei 15, 2025

| |

Pengira ini mencari persamaan pesawat tangen kepada permukaan pada titik yang diberikan. Masukkan persamaan permukaan dan koordinat titik untuk mengira persamaan pesawat tangen dan memvisualisasikan permukaan dan pesawat.

Masukkan Permukaan

Jenis Permukaan:

z = f(x,y) =

Koordinat x:

Koordinat y:

Opsyen Paparan

Tempat Perpuluhan:

Tunjukkan penyelesaian langkah demi langkah

Tunjukkan visualisasi

About Pesawat Tangen

Pesawat tangen kepada permukaan pada titik yang diberikan adalah pesawat yang hanya menyentuh permukaan pada titik tersebut dan "selari" dengan permukaan pada titik sentuhan. Ia adalah anggaran linear terbaik bagi permukaan berhampiran titik tersebut.

Mencari Pesawat Tangen untuk Jenis Permukaan Berbeza

Permukaan Eksplisit (z = f(x,y)):
Untuk permukaan z = f(x,y), pesawat tangen pada titik (x₀, y₀, z₀) mempunyai persamaan:

z - z₀ = f_x(x₀, y₀)(x - x₀) + f_y(x₀, y₀)(y - y₀)

di mana f_x dan f_y adalah derivatif separa f berkenaan dengan x dan y.
Permukaan Implisit (F(x,y,z) = 0):
Untuk permukaan F(x,y,z) = 0, pesawat tangen pada titik (x₀, y₀, z₀) mempunyai persamaan:

F_x(x₀, y₀, z₀)(x - x₀) + F_y(x₀, y₀, z₀)(y - y₀) + F_z(x₀, y₀, z₀)(z - z₀) = 0

di mana F_x, F_y, dan F_z adalah derivatif separa F berkenaan dengan x, y, dan z.
Permukaan Parametrik (x,y,z = f(u,v)):
Untuk permukaan yang diparametrik oleh x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), pesawat tangen pada titik yang sepadan dengan (u₀, v₀) mempunyai vektor normal yang diberikan oleh:

n = (∂r/∂u) × (∂r/∂v)

di mana r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) dan × adalah hasil kali silang.

Aplikasi Pesawat Tangen

Anggaran Linear: Pesawat tangen memberikan anggaran linear bagi permukaan berhampiran titik sentuhan.
Geometri Diferensial: Pesawat tangen membantu menganalisis tingkah laku tempatan permukaan.
Grafik Komputer: Pesawat tangen digunakan dalam pengiraan bayangan dan pencahayaan.
Pengoptimuman: Pesawat tangen membantu mencari ekstrem fungsi dengan sekatan.
Fizik: Pesawat tangen digunakan dalam mekanik dan elektromagnetisme untuk menganalisis daya dan medan pada permukaan.

Contoh Umum

Permukaan	Titik	Persamaan Pesawat Tangen
z = x² + y²	(1, 2, 5)	z = 2x + 4y - 1
x² + y² + z² = 4	(0, 0, 2)	z = 2
Helicoid: x = u·cos(v), y = u·sin(v), z = v	u=2, v=0	z = x/2

Kalkulator Papan Singgung: Tujuan dan Arahan

Apakah Papan Singgung?

Papan singgung adalah permukaan rata yang "hanya menyentuh" permukaan tertentu pada titik tertentu dalam ruang tiga dimensi. Ia adalah anggaran permukaan berhampiran titik tersebut, berguna dalam geometri, kalkulus, dan kejuruteraan untuk memahami tingkah laku tempatan. Persamaan papan singgung diperoleh menggunakan derivatif separa dari persamaan permukaan dan koordinat titik yang diberikan.

Sebagai contoh, untuk permukaan ( f(x, y, z) = k ), papan singgung pada titik ( (x_0, y_0, z_0) ) dikira menggunakan formula berikut: [ \frac{\partial f}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_0) + \frac{\partial f}{\partial z}(z - z_0) = 0 ]

Persamaan ini memastikan bahawa papan tersebut adalah singgung kepada permukaan pada titik tertentu.

Cara Menggunakan Kalkulator Papan Singgung

Kalkulator Papan Singgung memudahkan proses mencari persamaan papan singgung pada titik tertentu untuk permukaan ( f(x, y, z) = k ). Berikut adalah cara anda boleh menggunakannya dengan berkesan:

Langkah-langkah untuk Menggunakan:

Masukkan Fungsi:
Masukkan persamaan permukaan ( f(x, y, z) = k ) dalam medan input. Contohnya: x^2 + y^2 + z^2 = 14.
Tentukan Titik:
Masukkan koordinat titik ( (x_0, y_0, z_0) ) di mana anda ingin mencari papan singgung. Contoh: ( (1, 3, 2) ).
Kira:
Klik butang "Kira". Kalkulator akan:
- Mengira derivatif separa dari persamaan permukaan berkenaan ( x ), ( y ), dan ( z ).
- Menggantikan derivatif dan titik ke dalam persamaan papan singgung.
Lihat Penyelesaian:
Kalkulator akan memaparkan persamaan papan singgung bersama langkah-langkah terperinci pengiraan.
Visualisasikan Graf:
Graf yang dipermudahkan bagi papan singgung dan hubungannya dengan permukaan dipaparkan untuk pemahaman yang lebih baik.
Kosongkan Input:
Klik "Kosongkan Semua" untuk menetapkan semula kalkulator kepada contoh lalai.

Ciri-ciri Utama Kalkulator Papan Singgung

Antara Muka Mudah Digunakan: Masukkan persamaan permukaan dan koordinat titik dalam susun atur yang bersih dan intuitif.
Langkah Terperinci: Ikuti langkah-langkah pengiraan untuk memahami proses.
Visualisasi Grafikal: Lihat representasi 2D bagi papan singgung.
Contoh Praisi: Mulakan dengan contoh yang telah dimuatkan untuk ujian cepat.

Soalan Lazim

1. Apakah jenis persamaan yang boleh saya masukkan?

Anda boleh memasukkan sebarang persamaan dalam bentuk ( f(x, y, z) = k ). Contoh termasuk: - ( x^2 + y^2 + z^2 = 14 ) - ( x^2 + y^2 - z = 10 )

2. Apa yang berlaku jika saya tidak memberikan input yang sah?

Kalkulator akan memaparkan mesej ralat meminta anda untuk memasukkan persamaan dan titik yang sah.

3. Seberapa tepat pengiraan tersebut?

Kalkulator menggunakan pustaka canggih seperti Math.js untuk mengira derivatif separa dan menilai fungsi, memastikan ketepatan yang tinggi.

4. Bolehkah saya menggunakannya untuk permukaan tidak eksplisit?

Ya, kalkulator direka khusus untuk menangani permukaan tidak eksplisit di mana ( f(x, y, z) = k ).

5. Bolehkah saya menetapkan semula kalkulator?

Ya, mengklik "Kosongkan Semua" akan menetapkan semula medan input kepada nilai contoh lalai mereka.

Contoh Panduan

Katakan persamaan permukaan adalah ( x^2 + y^2 + z^2 = 14 ), dan titiknya adalah ( (1, 3, 2) ).

Input:
Fungsi: x^2 + y^2 + z^2 = 14
Titik: ( (1, 3, 2) )
Derivatif Separa:
( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x )
( \frac{\partial f}{\partial y} = 2y )
( \frac{\partial f}{\partial z} = 2z )
Gantikan Nilai:
Pada ( (1, 3, 2) ):
- ( \frac{\partial f}{\partial x} = 2(1) = 2 )
- ( \frac{\partial f}{\partial y} = 2(3) = 6 )
- ( \frac{\partial f}{\partial z} = 2(2) = 4 )
Papan Singgung: [ 2(x - 1) + 6(y - 3) + 4(z - 2) = 0 ] Permudahkan: [ 2x + 6y + 4z = 28 ]

Kesimpulan

Kalkulator Papan Singgung adalah alat yang berkuasa untuk mengira papan singgung dengan cepat dan tepat bagi permukaan dalam ruang tiga dimensi. Dengan antara muka yang intuitif dan output terperinci, ia sempurna untuk pelajar, jurutera, dan penyelidik yang bekerja dalam kalkulus atau geometri 3D.