Kalkulator Teorem Nilai Purata

Memahami Kalkulator Teorem Nilai Purata

Apa Itu Teorem Nilai Purata?

Teorem Nilai Purata (MVT) adalah konsep asas dalam kalkulus. Ia menyatakan bahawa untuk fungsi ( f(x) ) yang berterusan pada selang tertutup ([a, b]) dan boleh dibezakan pada selang terbuka ((a, b)), terdapat sekurang-kurangnya satu titik ( c ) dalam selang tersebut di mana: [ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. ]

Teorem ini menjamin bahawa kadar perubahan segera (derivatif) pada titik ( c ) sepadan dengan kadar perubahan purata sepanjang selang. Hasil ini mempunyai aplikasi penting dalam analisis, fizik, dan kejuruteraan.

Tujuan Kalkulator

Kalkulator Teorem Nilai Purata memudahkan proses penyelesaian masalah berkaitan MVT dengan: - Mengira cerun purata ( f(x) ) sepanjang selang yang diberikan ([a, b]). - Mencari titik ( c ) dalam selang di mana cerun segera sepadan dengan cerun purata. - Memaparkan nilai fungsi, derivatif, dan hasil yang dikira menggunakan notasi matematik. - Memberikan penjelasan langkah demi langkah tentang penyelesaian.

Cara Menggunakan Kalkulator

Ikuti langkah-langkah ini untuk menggunakan kalkulator:

1. Masukkan Fungsi: Masukkan fungsi ( f(x) ) dalam medan teks yang disediakan (contohnya, x^2 + 3x + 2).
2. Tentukan Selang: Masukkan titik mula dan akhir selang ([a, b]) dalam medan yang berkenaan.
3. Kira:
4. Klik butang Kira.
5. Alat ini mengira ( f(a) ), ( f(b) ), cerun purata, dan derivatif ( f'(x) ).
6. Ia menentukan nilai ( c ) di mana ( f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ) dan memaparkan langkah-langkah dan hasil.
7. Kosongkan Input: Klik butang Kosongkan untuk menetapkan semula input dan mula semula.

Contoh Panduan

• Input:
• Fungsi: ( f(x) = x^2 )
• Selang: ([1, 3])
• Langkah:
• Kira ( f(1) = 1^2 = 1 ) dan ( f(3) = 3^2 = 9 ).
• Cerun purata: [ m = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4. ]
• Derivatif: ( f'(x) = 2x ).
• Selesaikan ( f'(c) = 4 ): [ 2c = 4 \implies c = 2. ]
• Sahkan ( c = 2 ) memenuhi ( f'(c) = 4 ).
• Output:
• ( c = 2 ) adalah titik di mana Teorem Nilai Purata berlaku.
• Penyelesaian dan penjelasan langkah demi langkah.
• Graf:
• Representasi visual ( f(x) ) dan garis dengan cerun ( m ).

Soalan Lazim

1. Apa itu Teorem Nilai Purata?

Teorem Nilai Purata menyatakan bahawa untuk fungsi yang berterusan dan boleh dibezakan ( f(x) ), terdapat sekurang-kurangnya satu titik ( c ) dalam selang di mana derivatif ( f'(c) ) sama dengan kadar perubahan purata sepanjang selang.

2. Apa kepentingan ( c )?

Titik ( c ) mewakili di mana kadar perubahan segera (cerun garis singgung) sepadan dengan cerun purata sepanjang selang.

3. Seberapa tepat nilai ( c ) yang dikira?

Kalkulator menggunakan kaedah numerik untuk mencari ( c ) dengan ketepatan tinggi, memastikan derivatif di ( c ) hampir sepadan dengan cerun purata.

4. Apa yang berlaku jika ( f(x) ) tidak boleh dibezakan?

Teorem Nilai Purata memerlukan ( f(x) ) untuk berterusan pada ([a, b]) dan boleh dibezakan pada ((a, b)). Jika ( f(x) ) tidak boleh dibezakan, teorem ini tidak terpakai.

5. Bolehkah kalkulator ini mengendalikan fungsi kompleks?

Ya, kalkulator menyokong kebanyakan fungsi matematik dan derivatif. Pastikan sintaks yang betul semasa memasukkan fungsi.

Manfaat Kalkulator

• Jimat Masa: Menghapuskan pengiraan manual derivatif dan cerun.
• Ketepatan: Memastikan nilai tepat untuk ( c ) dan pengiraan yang berkaitan.
• Visualisasi: Memaparkan graf fungsi dan garis yang sepadan dengan cerun purata.

Kalkulator ini adalah alat penting untuk pelajar, pendidik, dan profesional yang berurusan dengan kalkulus dan analisis matematik. Ia menjadikan penyelesaian masalah Teorem Nilai Purata cepat dan mudah!