Kalkulator Siri Fourier

Kategori: Kalkulus
- 13 Oktober 2025
| |

Kira dan visualkan pengembangan Siri Fourier untuk pelbagai fungsi. Kalkulator ini membantu pelajar, jurutera, dan saintis memahami bagaimana fungsi berkala boleh diwakili sebagai jumlah sinusoid.

Kalkulator Siri Fourier

f(x) = a0/2 + ∑ [ancos(nx) + bnsin(nx)]
di mana n = 1, 2, 3, ..., N (bilangan terma)

Pilih Fungsi

Amplitud fungsi
Tempoh fungsi

Tetapan Siri Fourier

Bilangan lebih tinggi = anggaran lebih baik, pengiraan lebih perlahan
Bilangan tempat perpuluhan dalam pekali
Analitik lebih pantas tetapi hanya tersedia untuk fungsi pratetap

Tetapan Graf

hingga

Memahami Siri Fourier

Siri Fourier membolehkan kita mewakili fungsi berkala sebagai jumlah tak terhingga sinus dan kosinus. Alat matematik yang berkuasa ini penting dalam bidang seperti pemprosesan isyarat, analisis getaran, mekanik kuantum, dan pemindahan haba.

Definisi Matematik

Untuk fungsi f(x) dengan tempoh 2π, siri Fourier ditakrifkan sebagai:

f(x) = a0/2 + ∑n=1∞ [ancos(nx) + bnsin(nx)]

Di mana pekali dikira dengan:

a0 = (1/π) ∫-ππ f(x) dx
an = (1/π) ∫-ππ f(x)cos(nx) dx
bn = (1/π) ∫-ππ f(x)sin(nx) dx
Fenomena Gibbs

Apabila menghampiri fungsi dengan ketakselanjaran (seperti gelombang petak), anda mungkin melihat lebihan berhampiran lonjakan. Ini dipanggil fenomena Gibbs dan tidak boleh dihapuskan dengan menambah lebih banyak terma, walaupun ia boleh dikurangkan melalui teknik seperti tingkap.

Aplikasi
  • Pemprosesan Isyarat: Menganalisis komponen frekuensi isyarat
  • Akustik: Menguraikan bunyi kompleks kepada frekuensi asas
  • Analisis Litar: Memahami bagaimana litar bertindak balas terhadap input bukan sinusoidal
  • Pemindahan Haba: Menyelesaikan persamaan pembezaan separa dalam masalah penyebaran haba
  • Mekanik Kuantum: Mewakili fungsi gelombang dan keadaan tenaga

Penafian: Kalkulator ini menyediakan anggaran berangka siri Fourier. Untuk fungsi tidak selanjar, anggaran menunjukkan fenomena Gibbs berhampiran ketakselanjaran. Keputusan paling tepat apabila menggunakan bilangan terma yang lebih tinggi.

Formula Siri Fourier:
\( f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)] \)

Apakah Kalkulator Siri Fourier?

Kalkulator Siri Fourier adalah alat interaktif yang membantu anda memecahkan fungsi berkala kepada jumlah terma sinus dan kosinus. Proses ini, yang dikenali sebagai pengembangan siri Fourier, digunakan secara meluas dalam matematik, fizik, dan kejuruteraan untuk menganalisis isyarat atau corak berulang.

Mengapa Menggunakan Alat Ini?

Memahami struktur harmonik sesuatu fungsi boleh menjadi sangat berguna dalam banyak konteks. Kalkulator ini membolehkan anda:

  • Memvisualisasikan bagaimana gelombang sinus dan kosinus boleh menghampiri fungsi berkala yang kompleks
  • Meneroka bentuk gelombang klasik seperti gelombang segi empat, segi tiga, dan gigi gergaji
  • Memasukkan fungsi tersuai anda sendiri dalam selang tertentu
  • Melaraskan parameter seperti amplitud, bilangan terma, dan ketepatan
  • Melihat ralat antara penghampiran dan fungsi sebenar

Sama ada anda sedang mempelajari pemprosesan isyarat, menyelesaikan masalah kejuruteraan, atau mengulang kaji konsep dalam kalkulus, alat ini memberikan maklum balas dan pemahaman segera.

Cara Menggunakan Kalkulator

  1. Pilih Fungsi: Pilih bentuk gelombang yang telah ditetapkan atau masukkan fungsi tersuai x dalam selang \([-π, π]\).
  2. Tetapkan Amplitud dan Tempoh: Tentukan ketinggian dan kadar pengulangan bentuk gelombang anda.
  3. Konfigurasikan Tetapan Siri: Pilih bilangan terma Fourier dan sejauh mana ketepatan pekali yang diperlukan.
  4. Pilih Kaedah Pengiraan: Gunakan mod analitik untuk hasil yang lebih pantas dengan fungsi terbina dalam atau integrasi numerik untuk entri tersuai.
  5. Laraskan Julat Graf: Sesuaikan julat paksi-x untuk melihat beberapa kitaran atau zum ke kawasan tertentu.
  6. Klik “Kira Siri Fourier”: Kalkulator akan menjana graf, memaparkan pekali, dan secara opsional menunjukkan lengkung ralat.

Contoh Penggunaan

  • Pemprosesan Isyarat: Menganalisis isyarat bunyi atau elektrik dengan memecahkannya kepada komponen frekuensi.
  • Pemindahan Haba: Menyelesaikan persamaan pembezaan menggunakan siri Fourier untuk memodelkan perubahan suhu.
  • Analisis Getaran: Memodelkan sistem mekanikal yang berayun atau beresonans.
  • Penghampiran Fungsi: Gunakan sebagai pelengkap kepada Kalkulator Siri Taylor atau Kalkulator Penghampiran Kuadratik untuk meneroka teknik penghampiran yang berbeza.

Soalan Lazim

Apakah siri Fourier?
Ia adalah perwakilan matematik bagi fungsi berkala sebagai jumlah gelombang sinus dan kosinus.

Bolehkah saya memasukkan fungsi saya sendiri?
Ya. Hanya pilih "Fungsi Tersuai" dan masukkan ekspresi seperti x^2, sin(x), atau sebarang gabungan fungsi dalam \([-π, π]\).

Apakah maksud bilangan terma (N)?
Ia mengawal berapa banyak gelombang sinus dan kosinus yang digunakan dalam penghampiran. Lebih banyak terma memberikan padanan yang lebih rapat tetapi mungkin mengambil masa lebih lama untuk dikira.

Mengapa saya melihat lebihan pada graf?
Itu adalah fenomena Gibbs—kesan semula jadi dalam penghampiran Fourier bagi fungsi tidak berterusan.

Bagaimana Alat Ini Membantu Anda Belajar dan Menganalisis

Kalkulator Siri Fourier sangat sesuai untuk pelajar, pendidik, dan profesional. Ia melengkapi alat seperti Kalkulator Derivatif Separa, Kalkulator Integral, dan Kalkulator Derivatif Kedua dengan menawarkan pandangan visual dan intuitif tentang bagaimana fungsi berkelakuan dari masa ke masa.

Ia juga berguna apabila digabungkan dengan penyelesai untuk derivatif, had, dan garis tangen. Jika anda sedang mempelajari tentang derivatif separa, derivatif arah, atau menyelesaikan persamaan pembezaan, kalkulator ini boleh memberikan cara lain untuk memahami bagaimana fungsi berubah dan berinteraksi.

Keupayaan untuk mengira, menggraf, dan membandingkan penghampiran di satu tempat menjadikan ini alat pembelajaran dan penyelesaian masalah yang bernilai dalam pelbagai domain matematik dan kejuruteraan.