Kalkulator Pengganda Lagrange

- 11 Jun 2025
| |

Selesaikan masalah pengoptimuman terhad menggunakan kaedah pengganda Lagrange. Kalkulator ini membantu anda mencari nilai ekstrem fungsi tertakluk kepada satu atau lebih kekangan.

Fungsi Objektif

Masukkan fungsi yang ingin anda maksimakan atau minimakan

Fungsi Kekangan

Masukkan persamaan kekangan (termasuk =, ≤, atau ≥)

Tetapan Pembolehubah

Titik permulaan untuk penyelesaian berangka

Pilihan Lanjutan

Simbolik untuk penyelesaian tepat, berangka untuk masalah kompleks

Memahami Pengganda Lagrange

Kaedah pengganda Lagrange adalah teknik yang berkuasa untuk mencari ekstrem (nilai maksimum atau minimum) fungsi multivariable tertakluk kepada satu atau lebih kekangan.

Konsep Utama
  • Fungsi Objektif: Fungsi f(x,y,z) yang anda ingin maksimakan atau minimakan
  • Fungsi Kekangan: Persamaan g(x,y,z) = c yang mengehadkan domain fungsi objektif
  • Lagrangian: Fungsi baru L(x,y,z,λ) = f(x,y,z) - λ(g(x,y,z) - c) yang menggabungkan objektif dan kekangan
  • Pengganda Lagrange (λ): Pembolehubah yang mewakili kadar perubahan fungsi objektif per unit perubahan nilai kekangan
  • Titik Kritikal: Titik di mana ∇f = λ∇g dan g(x,y,z) = c, yang mungkin sepadan dengan ekstrem
Kaedah
  1. Bentuk Lagrangian: L(x,y,z,λ) = f(x,y,z) - λ(g(x,y,z) - c)
  2. Cari Titik Kritikal: Ambil derivatif separa L berkenaan semua pembolehubah dan λ, tetapkan sama dengan sifar
  3. Selesaikan Sistem: Selesaikan sistem persamaan yang terhasil
  4. Nilai: Kira nilai fungsi pada setiap titik kritikal untuk mencari ekstrem
Kekangan Berganda

Untuk masalah dengan kekangan berganda, Lagrangian menjadi:

L(x,y,z,λ₁,λ₂) = f(x,y,z) - λ₁(g(x,y,z) - c₁) - λ₂(h(x,y,z) - c₂)

Di mana setiap kekangan mendapat pengganda Lagrange sendiri.

Interpretasi Geometri

Secara geometri, pada ekstrem terhad, kecerunan fungsi objektif adalah selari dengan kecerunan fungsi kekangan. Iaitu, ∇f = λ∇g pada titik kritikal.

Penafian: Kalkulator ini menggunakan kaedah simbolik dan berangka untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman terhad. Untuk fungsi kompleks, anggaran berangka mungkin digunakan yang boleh memperkenalkan ralat kecil. Sentiasa sahkan keputusan penting dengan kaedah alternatif. Kalkulator ini menyokong fungsi dan operasi matematik asas.

Fungsi Lagrangian:
L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) − λ(g(x, y, z) − c)

Apakah Kalkulator Pengganda Lagrange?

Kalkulator Pengganda Lagrange ialah alat dalam talian yang intuitif untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman di mana suatu fungsi perlu dimaksimumkan atau diminimumkan sambil mematuhi satu atau lebih kekangan. Teknik ini banyak digunakan dalam matematik, ekonomi, fizik, dan kejuruteraan apabila nilai pemboleh ubah tertentu mesti memenuhi syarat tertentu.

Bagaimana Kalkulator Ini Membantu Anda

Sama ada anda seorang pelajar yang mempelajari pengoptimuman multivariable atau seorang profesional yang menyelesaikan masalah berasaskan kekangan, kalkulator ini mempermudah proses dengan secara automatik mengendalikan:

  • Merumuskan ekspresi Lagrangian
  • Mengira derivatif separa dan menyelesaikannya
  • Mengenal pasti titik kritikal dan ekstremum (nilai maksimum atau minimum)
  • Memvisualisasikan penyelesaian dengan plot 3D pilihan

Alat ini sangat berguna bersama alat matematik lanjutan lain seperti Kalkulator Derivatif Separa, Kalkulator Derivatif, atau Alat Derivatif Kedua semasa menganalisis fungsi multivariable.

Bila Menggunakan Alat Ini

Gunakan kalkulator ini apabila:

  • Anda perlu mengoptimumkan fungsi dengan kekangan
  • Anda mahukan penyelesaian simbolik atau numerik untuk masalah kekangan
  • Anda perlu menilai derivatif separa sebagai sebahagian daripada langkah pengoptimuman
  • Anda ingin memahami bagaimana kekangan mempengaruhi penyelesaian optimum

Cara Menggunakan Kalkulator

Ikuti langkah mudah ini untuk mendapatkan hasil:

  1. Masukkan fungsi objektif anda (contohnya, x^2 + y^2)
  2. Pilih sama ada anda ingin memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tersebut
  3. Masukkan sekurang-kurangnya satu kekangan (contohnya, x^2 + y^2 = 1)
  4. Pilih pemboleh ubah yang akan dimasukkan dalam analisis (x, y, z)
  5. Pilihan untuk menetapkan tekaan awal atau menambah kekangan kedua
  6. Pilih kaedah penyelesaian: simbolik untuk langkah tepat atau numerik untuk anggaran
  7. Klik Kira Ekstremum untuk mendapatkan titik kritikal dan langkah terperinci

Ciri-Ciri Sekilas

  • Menyokong satu atau dua kekangan
  • Mod penyelesaian tepat dan anggaran
  • Visualisasi grafik (plot 2D dan 3D)
  • Perincian langkah demi langkah proses pengoptimuman
  • Termasuk langkah derivatif separa dan klasifikasi titik kritikal

Kenapa Ia Berguna

Memahami cara menyelesaikan masalah pengoptimuman dengan kekangan adalah kunci dalam kalkulus multivariable dan aplikasi dunia nyata. Kalkulator ini mempermudah proses tersebut dan memudahkan pembelajaran dengan menggabungkan teori matematik dengan wawasan visual dan fungsi interaktif. Ia sangat berguna apabila digabungkan dengan alat seperti alat derivatif arah, kalkulator derivatif tersirat, atau penyelesai matriks Jacobian untuk analisis multivariable yang lebih mendalam.

Soalan Lazim

Apakah pengganda Lagrange?

Pengganda Lagrange ialah pemboleh ubah yang diperkenalkan untuk membantu mencari ekstremum suatu fungsi tertakluk kepada kekangan. Ia membantu mengenal pasti di mana kecerunan fungsi objektif dan fungsi kekangan sejajar.

Bolehkah saya menggunakannya untuk tiga pemboleh ubah?

Ya. Anda boleh memasukkan x, y, dan z dalam masalah anda dengan memilih kotak pilihan yang berkaitan.

Bagaimana jika masalah saya mempunyai lebih daripada satu kekangan?

Kalkulator ini menyokong kekangan kedua. Apabila ditambah, ia secara automatik menyesuaikan formula Lagrangian dan langkah penyelesaian.

Adakah ini sesuai untuk pemula?

Sudah tentu. Walaupun ia mengendalikan matematik lanjutan di latar belakang, antara mukanya mudah difahami, dan langkah terperinci membantu pengguna belajar dan mengikuti.

Sejauh mana ketepatan hasilnya?

Penyelesaian simbolik adalah tepat. Penyelesaian numerik adalah anggaran, dan anda boleh menyesuaikan ketepatan perpuluhan. Untuk fungsi yang sangat kompleks, perbezaan kecil mungkin muncul disebabkan oleh pembundaran atau kaedah numerik.

Alat Berkaitan yang Mungkin Berguna

Kesimpulan

Kalkulator Pengganda Lagrange menyediakan cara yang jelas dan cekap untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman dengan kekangan. Ia adalah tambahan yang berkuasa untuk alat matematik anda dan sangat sesuai dengan kalkulator yang mengira derivatif, integral, atau kecerunan.