Kalkulator Pendekatan Kuadratik

Kategori: Kalkulus
- 22 Disember 2025
| |

Kira anggaran kuadratik (polinomial Taylor orde kedua) bagi fungsi pada titik tertentu. Kalkulator ini mencari anggaran kuadratik terbaik menggunakan nilai fungsi, derivatif pertama, dan derivatif kedua pada titik tersebut.

Input Fungsi

Pilihan Paparan

About Anggaran Kuadratik

Anggaran kuadratik adalah polinomial Taylor orde kedua yang menganggar fungsi berhampiran titik tertentu. Ia menggunakan nilai fungsi, derivatif pertama, dan derivatif kedua pada titik tersebut untuk mencipta fungsi kuadratik yang hampir sepadan dengan tingkah laku fungsi asal.

Konsep Utama
  • Siri Taylor: Representasi siri kuasa bagi fungsi menggunakan derivatif pada titik tertentu.
  • Anggaran Kuadratik: Polinomial Taylor orde kedua, yang merangkumi terma sehingga (x-a)².
  • Anggaran Ralat: Perbezaan antara fungsi asal dan anggaran kuadratiknya berkurangan apabila x semakin hampir dengan titik pengembangan a.
  • Terma Sisa: Ralat dalam anggaran kuadratik boleh dibatasi menggunakan formula sisa Lagrange: R₂(x) = (f'''(ξ)/6)(x-a)³ untuk beberapa ξ antara a dan x.
Aplikasi
  • Kaedah Numerik: Menganggar fungsi untuk tujuan pengiraan
  • Analisis Ralat: Menganggar ralat pengiraan dalam algoritma numerik
  • Pengoptimuman: Mencari minima dan maksima tempatan bagi fungsi
  • Fizik: Menganggar fungsi tenaga potensi berhampiran titik keseimbangan
  • Kejuruteraan: Memudahkan sistem kompleks dengan model kuadratik yang lebih sederhana

Apakah Itu Penghampiran Kuadratik?

Penghampiran kuadratik adalah kaedah yang digunakan untuk menghampiri tingkah laku fungsi ( f(x) ) berhampiran titik tertentu ( x_0 ). Teknik ini mengembangkan fungsi ke dalam bentuk kuadratik:

[ Q(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 ]

Berikut adalah sumbangan setiap terma: - ( f(x_0) ): Nilai fungsi pada ( x_0 ). - ( f'(x_0) ): Kecerunan garis tangen pada ( x_0 ), mewakili terma linear. - ( f''(x_0) ): Keluk fungsi, menyumbang kepada terma kuadratik.

Kaedah ini sangat berguna dalam senario di mana fungsi terlalu kompleks untuk dinilai secara langsung atau untuk menghampiri fungsi bukan linear.

Cara Menggunakan Kalkulator Penghampiran Kuadratik

Kalkulator Penghampiran Kuadratik kami memudahkan proses mencari penghampiran kuadratik untuk fungsi tertentu ( f(x) ) pada titik yang ditentukan ( x_0 ). Ikuti langkah-langkah ini:

  1. Masukkan Fungsi:

  2. Masukkan fungsi anda ( f(x) ) dalam kotak input yang ditetapkan. Contohnya: sqrt(x) + 5/sqrt(x).

  3. Tentukan Titik:

  4. Masukkan titik ( x_0 ) di mana penghampiran diperlukan. Sebagai contoh: 9.

  5. Kira:

  6. Klik butang Kira. Kalkulator akan mengira penghampiran kuadratik, menunjukkan langkah-langkah terperinci dan hasil akhir dalam bentuk yang diperluas dan dipermudahkan.

  7. Lihat Penyelesaian:

  8. Semak penyelesaian, yang merangkumi:

    • Nilai fungsi ( f(x_0) ),
    • Derivatif pertama dan kedua ( f'(x_0) ) dan ( f''(x_0) ),
    • Formula penghampiran kuadratik dan bentuk dipermudahkannya.

  9. Kosongkan Input:

  10. Untuk menetapkan semula medan, klik butang Kosongkan.

Ciri-ciri Kalkulator

  • Ketepatan Pecahan: Semua hasil dipaparkan dalam bentuk pecahan untuk kejelasan dan ketepatan.
  • Penyelesaian Langkah demi Langkah: Fahami setiap langkah proses pengiraan.
  • Antara Muka Mesra Pengguna: Medan input untuk fungsi dan titik mudah digunakan.
  • Pengendalian Ralat: Menyediakan mesej ralat terperinci jika input tidak sah.

Contoh

Input:

  • Fungsi: ( f(x) = \sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} )
  • Titik: ( x_0 = 9 )

Output:

  1. Langkah 1: Kira ( f(x_0) ): [ f(9) = \frac{14}{3} ]

  2. Langkah 2: Kira derivatif pertama dan nilai pada ( x_0 ): [ f'(x) = -\frac{5}{2\sqrt{x}^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad f'(9) = \frac{2}{27} ]

  3. Langkah 3: Kira derivatif kedua dan nilai pada ( x_0 ): [ f''(x) = \frac{15}{4\sqrt{x}^5} - \frac{1}{4\sqrt{x}^3}, \quad f''(9) = \frac{1}{162} ]

  4. Formula Penghampiran Kuadratik: [ Q(x) \approx \frac{14}{3} + \frac{2}{27}(x - 9) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{162}(x - 9)^2 ]

  5. Permudahkan: [ Q(x) \approx \frac{x^2}{324} + \frac{x}{54} + \frac{17}{4} ]

Soalan Lazim

S: Apakah tujuan penghampiran kuadratik?

J: Penghampiran kuadratik menyederhanakan fungsi kompleks dengan menghampirinya sebagai polinomial kuadratik berhampiran titik yang menarik. Ia biasanya digunakan dalam kalkulus dan pengoptimuman.

S: Bolehkah saya menggunakan kalkulator ini untuk sebarang fungsi?

J: Ya, selagi fungsi tersebut boleh didiferensiasi hingga derivatif kedua pada titik yang ditentukan ( x_0 ).

S: Apa yang berlaku jika saya memasukkan input yang tidak sah?

J: Kalkulator memberikan mesej ralat untuk membimbing anda dalam membetulkan input.

S: Mengapa hasil ditunjukkan sebagai pecahan?

J: Pecahan memberikan nilai tepat, memastikan ketepatan dalam pengiraan.

Kesimpulan

Kalkulator Penghampiran Kuadratik adalah alat yang berkuasa untuk pelajar, pendidik, dan profesional yang memerlukan penghampiran fungsi yang tepat. Dengan menawarkan penyelesaian langkah demi langkah dan output pecahan yang jelas, kalkulator ini memastikan ketepatan dan pemahaman.

Mulakan sekarang dan terokai bagaimana penghampiran kuadratik dapat menyederhanakan cabaran matematik anda!