Kalkulator Linearization

Kategori: Kalkulus
- 10 September 2025
| |

Kira anggaran linear bagi suatu fungsi pada titik tertentu. Kalkulator ini mencari garis tangen pada lengkung dan menggunakannya sebagai anggaran tempatan bagi fungsi tersebut.

Maklumat Fungsi

Masukkan fungsi dalam bentuk x
Nilai x di mana linearization akan dikira
Pilih pemboleh ubah bebas
Titik untuk menilai anggaran linear

Pilihan Paparan

Pilihan Lanjutan

Bilangan terma untuk had ralat (siri Taylor)

Memahami Linearization

Linearization adalah teknik yang digunakan untuk menganggar fungsi berhampiran titik tertentu menggunakan fungsi linear (garis lurus). Anggaran linear ini pada asasnya adalah garis tangen pada lengkung di titik yang diberikan.

Rumusan Matematik

Bagi fungsi f(x) pada titik x = a, linearization L(x) diberikan oleh:

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

Di mana:

  • f(a) adalah nilai fungsi pada titik a
  • f'(a) adalah terbitan fungsi pada titik a
  • (x - a) adalah jarak dari titik linearization
Mengapa Linearization Berfungsi

Linearization berdasarkan dua terma pertama pengembangan siri Taylor bagi fungsi di sekitar titik. Ia berfungsi dengan baik apabila x hampir dengan a, kerana ralat meningkat apabila anda bergerak lebih jauh dari titik linearization.

Anggaran Ralat

Ralat dalam linearization boleh dianggarkan menggunakan terma baki daripada Teorem Taylor:

Ralat = f(x) - L(x) = f''(ξ)(x - a)²/2

Di mana ξ adalah beberapa nilai antara a dan x.

Aplikasi
  • Anggaran: Mempermudah fungsi kompleks untuk pengiraan yang lebih mudah
  • Kaedah Newton: Mencari punca persamaan secara iteratif
  • Persamaan Pembezaan: Melinearkan sistem tak linear berhampiran titik keseimbangan
  • Analisis Ralat: Menganggar ralat numerik dalam pengiraan
  • Fizik: Menganggar hubungan kompleks untuk pemodelan yang lebih mudah

Penafian: Kalkulator ini menyediakan anggaran linearization berdasarkan prinsip kalkulus. Ketepatan anggaran bergantung pada sejauh mana titik penilaian dari titik linearization. Untuk fungsi yang sangat tak linear, anggaran mungkin mempunyai ralat yang ketara apabila dinilai jauh dari titik linearization.

Apakah Itu Kalkulator Linearization?

Kalkulator Linearization adalah alat yang mudah tetapi berkuasa untuk menghampiri nilai sesuatu fungsi berhampiran titik tertentu menggunakan garis lurus. Proses ini, yang dikenali sebagai linearization, adalah berdasarkan garis tangen kepada fungsi pada titik tertentu dan membantu menganggarkan nilai fungsi tanpa pengiraan yang kompleks.

Ia berfungsi dengan baik apabila nilai input hampir dengan titik di mana fungsi tersebut dilinearisasikan. Pendekatan ini sering digunakan dalam kalkulus, kejuruteraan, dan analisis data untuk mempermudah pengiraan yang sukar.

Formula Linearization

L(x) = f(a) + f′(a)(x − a)

Di mana:

  • f(a) adalah nilai fungsi pada titik a
  • f′(a) adalah terbitan fungsi pada titik a
  • (x − a) adalah jarak dari titik yang dipilih

Cara Menggunakan Kalkulator

Menggunakan Kalkulator Linearization adalah mudah. Ikuti langkah-langkah berikut:

  • Masukkan fungsi anda dalam bentuk pemboleh ubah (contoh: sin(x), x^2, e^x).
  • Pilih titik di mana anda ingin melakukan linearization.
  • Pilih pemboleh ubah (contoh: x, t, θ).
  • (Pilihan) Masukkan nilai di mana anda ingin menilai anggaran.
  • Klik "Calculate Linearization" untuk mendapatkan hasilnya.

Anda juga boleh memilih untuk memaparkan graf dan melihat analisis ralat yang membandingkan anggaran dengan fungsi sebenar.

Mengapa Menggunakan Alat Ini?

Kalkulator ini berguna untuk menganggarkan nilai fungsi dengan cepat tanpa perlu mengira terbitan atau integral peringkat tinggi. Berikut adalah beberapa kegunaan biasa:

  • Menghampiri nilai fungsi seperti persamaan trigonometri atau eksponen berhampiran titik tertentu.
  • Memvisualisasikan garis tangen dan bagaimana ia dibandingkan dengan lengkung asal.
  • Menganalisis ralat untuk memahami sejauh mana anggaran itu tepat.

Ia juga berkaitan dengan topik lain seperti:

  • Penyelesai terbitan seperti Derivative Calculator atau Second Derivative Calculator.
  • Alat analisis fungsi seperti Tangent Line Calculator dan Quadratic Approximation Calculator.
  • Belajar kalkulus melalui alat visual dan interaktif untuk memahami terbitan separa dan siri Taylor.

Soalan Lazim

Untuk apa linearization digunakan?

Linearization membantu menganggarkan nilai fungsi berhampiran titik tertentu menggunakan garis lurus. Ia sangat berguna apabila menilai fungsi kompleks atau melakukan pengiraan cepat.

Adakah kalkulator ini menyokong pemalar khas seperti π atau e?

Ya. Anda boleh menggunakan ungkapan seperti pi/4 atau e^x secara langsung dalam medan input.

Bolehkah alat ini menunjukkan ralat anggaran?

Sudah tentu. Apabila diaktifkan, kalkulator ini menyediakan analisis ralat terperinci berdasarkan terbitan kedua dan juga termasuk pilihan untuk anggaran ralat Lagrange.

Adakah ini sama seperti menggunakan Derivative Calculator?

Tidak sepenuhnya. Walaupun ia bergantung pada terbitan pertama seperti Derivative Calculator, alat ini melangkah lebih jauh dengan menggunakannya untuk membina anggaran linear penuh dan juga menawarkan maklum balas grafik dan ralat.

Adakah kalkulator ini hanya untuk pelajar?

Tidak. Ia berguna untuk sesiapa sahaja yang bekerja dengan fungsi — daripada pelajar sekolah menengah dan kolej hingga jurutera, ahli fizik, dan saintis data.

Alat Berkaitan yang Mungkin Berguna

  • Partial Derivative Calculator: Untuk fungsi multivariable dan langkah-langkah pembezaan separa.
  • Antiderivative Calculator: Untuk mencari antiterbitan dan menyelesaikan integral secara dalam talian.
  • Second Derivative Calculator: Untuk analisis lebih mendalam tentang kelengkungan dan titik infleksi.
  • Tangent Line Calculator: Dengan cepat mengira kecerunan dan persamaan garis tangen pada mana-mana titik.
  • Quadratic Approximation Calculator: Untuk anggaran yang lebih baik menggunakan polinomial darjah kedua.

Cuba terokai alat-alat ini untuk menyokong pembelajaran anda dalam kalkulus, fizik, dan aplikasi matematik lain.