Kalkulator Kaedah Simpson

Kategori: Kalkulus

- 26 November 2025

| |

Kira integral tentu secara numerik menggunakan Kaedah Simpson. Kalkulator ini menganggar integral sesuatu fungsi dalam julat tertentu dengan melukis lengkung parabola melalui titik-titik yang sama jarak.

Parameter Pengamiran

Fungsi untuk Diintegrasikan:

Gunakan x sebagai pemboleh ubah. Fungsi matematik: sin, cos, tan, log, sqrt, dll.

Had Bawah (a):

Had Atas (b):

Bilangan Selang (n):

Mesti nombor genap untuk Kaedah Simpson

Pilihan Visualisasi

Tunjukkan plot fungsi

Tunjukkan kawasan anggaran

Memahami Kaedah Simpson

Kaedah Simpson adalah kaedah anggaran numerik untuk integral tentu. Ia menganggar fungsi menggunakan polinomial kuadratik, yang memberikan ketepatan lebih baik berbanding kaedah mudah seperti Kaedah Trapezoid.

Formula

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Di mana:

h = (b - a) / n adalah lebar setiap subselang
n adalah bilangan subselang (mesti genap)
x_i = a + i·h adalah titik-titik yang sama jarak

Istilah Ralat

Kaedah Simpson mempunyai istilah ralat O(h⁵), yang bermaksud ralat berkadar dengan h⁴. Secara khusus:

\text{Error} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Di mana f⁽⁴⁾(ξ) adalah terbitan keempat f pada suatu titik ξ antara a dan b.

Perbandingan dengan Kaedah Lain

Kaedah Titik Tengah: Ralat adalah O(h³), kurang tepat berbanding Kaedah Simpson
Kaedah Trapezoid: Ralat adalah O(h³), kurang tepat berbanding Kaedah Simpson
Kaedah Simpson 3/8: Ketepatan serupa dengan Kaedah Simpson
Kuadratur Gaussian: Lebih tepat untuk kelas fungsi tertentu

Penafian: Kalkulator ini menyediakan anggaran numerik yang mungkin mengandungi ralat, terutamanya untuk fungsi dengan singulariti atau ayunan pantas. Sentiasa sahkan keputusan penting dengan kaedah alternatif atau penyelesaian analitik jika perlu.

Apakah Kalkulator Kaedah Simpson?

Kalkulator Kaedah Simpson ialah alat interaktif yang menganggarkan nilai bagi suatu integral tentu. Daripada menyelesaikan integral kompleks secara manual, kalkulator ini menggunakan kaedah numerik yang boleh dipercayai untuk menghampiri kawasan di bawah lengkung, yang dikenali sebagai Kaedah Simpson. Ia sangat berguna untuk fungsi yang sukar atau mustahil untuk diintegrasikan secara analitik.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Kaedah ini membahagikan selang kepada bilangan bahagian genap dan memadankan parabola melalui titik-titik pada graf fungsi. Ia memberikan ketepatan yang lebih baik berbanding kaedah trapezoid atau titik tengah.

Mengapa Menggunakannya?

Sama ada anda seorang pelajar, guru, jurutera, atau pelajar yang ingin tahu, Kalkulator Kaedah Simpson membantu anda:

Menganggarkan integral tentu dengan cepat
Memvisualisasikan bagaimana kawasan di bawah lengkung dihampiri
Memahami kesan perubahan bilangan selang
Melakukan analisis ralat dan melihat tingkah laku penumpuan

Ia juga melengkapi alat lain seperti Kalkulator Integral untuk menyelesaikan integral tentu atau tak tentu dan Kalkulator Antiderivatif untuk mencari antiderivatif. Jika anda bekerja dengan fungsi multivariable, lihat Kalkulator Derivatif Separa untuk mengira derivatif separa atau menganalisis pembezaan multivariable.

Cara Menggunakan Kalkulator

Ikuti langkah mudah ini untuk mendapatkan anggaran tepat bagi integral tentu anda:

Masukkan fungsi yang ingin anda integrasikan dalam kotak input (gunakan x sebagai pemboleh ubah).
Tetapkan had bawah dan atas untuk selang integrasi.
Pilih bilangan selang (mesti nombor genap).
Pilihan tambahan, aktifkan pemplotan fungsi dan visualisasi anggaran.
Klik "Kira Integral" untuk melihat hasil, plot, dan pecahan.

Anda boleh menetapkan semula kalkulator pada bila-bila masa menggunakan butang "Tetapkan Semula".

Kegunaan Biasa

Gunakan Kalkulator Kaedah Simpson untuk:

Menghampiri kawasan di bawah lengkung apabila integral tepat sukar untuk dikira
Membandingkan hasil numerik dengan penyelesaian tepat daripada penyelesai integral
Menganalisis penumpuan dengan meningkatkan bilangan selang
Mendapatkan pandangan tentang tingkah laku ralat merentasi bilangan selang yang berbeza

Ia sangat berguna untuk menyemak kerja atau melengkapkan hasil daripada alat seperti Kalkulator Derivatif Kedua atau Kalkulator Derivatif Arah dalam analisis multivariable.

Soalan Lazim

S: Apakah jenis fungsi yang boleh saya masukkan?
Sebarang fungsi yang menggunakan x sebagai pemboleh ubah. Ungkapan biasa termasuk polinomial, fungsi trigonometri, eksponen, dan logaritma. Sebagai contoh: x^2 + sin(x).

S: Mengapa bilangan selang mesti genap?
Kaedah Simpson bergantung pada pemadanan parabola merentasi pasangan selang. Bilangan selang ganjil akan memecahkan pasangan ini.

S: Sejauh mana ketepatan kaedah ini?
Kaedah Simpson sangat tepat untuk fungsi yang licin dan bertambah baik dengan lebih banyak selang. Kalkulator ini juga menunjukkan maklumat ralat dan penumpuan.

S: Bagaimana jika fungsi saya tidak terdefinisi pada beberapa titik?
Elakkan fungsi dengan singulariti atau ketakselanjaran dalam selang. Ini boleh menyebabkan hasil yang tidak tepat atau ralat penilaian.

Pemikiran Akhir

Kalkulator ini ialah teman yang berguna untuk mempelajari kalkulus dan menyelesaikan masalah dunia nyata yang melibatkan integrasi. Ia adalah sebahagian daripada rangkaian alat matematik yang lebih luas seperti Kalkulator Derivatif, Kalkulator Derivatif Songsang, dan Kalkulator Had yang mempermudah pembelajaran dan penerapan konsep matematik lanjutan.