Kalkulator Integral Tiga Kali

Kategori: Kalkulus
- 23 September 2025
| |

Kira dan visualkan integral tiga kali ganda ke atas pelbagai kawasan dalam ruang 3D. Kalkulator ini membantu menetapkan sempadan integrasi, memvisualkan kawasan, dan mengira hasilnya.

Penyediaan Integral

Gunakan x, y, z untuk Kartesian; r, theta, z untuk Silinder; rho, theta, phi untuk Sfera
Sempadan Integrasi (Kartesian)
x:
hingga
y:
hingga
z:
hingga
Kawasan Semasa:
Hemisfera atas dengan jejari 1, berpusat di asal
Pilihan
Kawasan Pratetap

Memahami Integral Tiga Kali Ganda

Integral tiga kali ganda mewakili integral isipadu fungsi ke atas kawasan dalam ruang tiga dimensi. Ia melanjutkan konsep integral tunggal dan berganda ke tiga dimensi.

Definisi

Integral tiga kali ganda fungsi f(x,y,z) ke atas kawasan V dalam ruang tiga dimensi ditakrifkan sebagai:

∭V f(x,y,z) dV

Ini mewakili jumlah nilai f di seluruh kawasan V, ditimbang oleh elemen isipadu dV.

Sistem Koordinat Berbeza

Integral tiga kali ganda boleh dinilai dalam sistem koordinat yang berbeza:

Kartesian: ∭ f(x,y,z) dx dy dz

Silinder: ∭ f(r,θ,z) r dr dθ dz

Sfera: ∭ f(ρ,θ,φ) ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

Pilihan sistem koordinat harus sesuai dengan simetri masalah untuk mempermudah pengiraan.

Aplikasi

Integral tiga kali ganda mempunyai banyak aplikasi praktikal, termasuk:

  • Mengira isipadu bentuk 3D yang kompleks
  • Mencari pusat jisim objek pepejal
  • Mengira momen inersia dalam fizik
  • Menentukan jumlah potensi elektrik atau graviti dalam kawasan
  • Menyelesaikan masalah dalam dinamik bendalir dan elektromagnetisme

Penafian: Kalkulator ini menyediakan anggaran untuk tujuan pendidikan. Untuk aplikasi kritikal yang memerlukan ketepatan tinggi, sahkan hasil dengan perisian matematik khusus atau rujuk dengan ahli matematik profesional.

Apakah Itu Kalkulator Integral Tiga?

Kalkulator Integral Tiga ialah alat dalam talian yang mesra pengguna yang membantu anda menilai dan memahami integral tiga — satu kaedah untuk mengira isipadu di bawah permukaan dalam ruang tiga dimensi. Sama ada anda bekerja dengan koordinat Kartesian, Silinder, atau Sfera, kalkulator ini membolehkan anda mentakrifkan fungsi integrand, memasukkan had integrasi, dan menerima penyelesaian simbolik dan berangka, lengkap dengan panduan langkah demi langkah pilihan dan visualisasi 3D.

∭V f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(x, y, z) dz dy dx

Mengapa Menggunakan Alat Ini?

Kalkulator ini berguna untuk pelajar, pendidik, dan profesional yang perlu:

  • Mencari isipadu kawasan dalam ruang 3D
  • Mengira integral dalam sistem koordinat yang berbeza
  • Memahami bagaimana had integrasi berkaitan dengan bentuk geometri
  • Mendapatkan pecahan langkah demi langkah proses integrasi
  • Memvisualisasikan kawasan 3D untuk membina intuisi dalam kalkulus multivariable

Cara Menggunakan Kalkulator

  1. Pilih sistem koordinat: Pilih antara Kartesian (x, y, z), Silinder (r, θ, z), atau Sfera (ρ, θ, φ) berdasarkan bentuk kawasan.
  2. Masukkan fungsi integrand: Sebagai contoh, x^2 + y^2 + z^2 dalam koordinat Kartesian.
  3. Tentukan had integrasi: Masukkan had bawah dan atas untuk setiap pemboleh ubah. Anda juga boleh menggunakan bentuk pratetap seperti sfera unit atau silinder.
  4. Pilih pilihan: Togol sama ada untuk menunjukkan penyelesaian langkah demi langkah, hasil berangka, atau visualisasi.
  5. Klik "Kira Integral": Lihat hasilnya, lihat pecahan setiap langkah integrasi, dan berinteraksi dengan visualisasi 3D jika diaktifkan.

Ciri Utama

  • Menyokong koordinat Kartesian, Silinder, dan Sfera
  • Menyediakan hasil simbolik dan berangka
  • Termasuk kawasan pratetap untuk bentuk biasa
  • Memvisualisasikan kawasan dalam 3D dengan putaran dan zum
  • Memecahkan setiap langkah integrasi untuk pembelajaran

Berguna untuk Mempelajari Topik Berkaitan

Integral tiga sering muncul bersama topik kalkulus multivariable lain. Kalkulator ini melengkapi alat seperti:

  • Kalkulator Derivatif Separa: Terokai bagaimana fungsi berubah sepanjang pemboleh ubah tertentu menggunakan derivatif separa atau penyelesai derivatif multivariable.
  • Kalkulator Antiderivatif: Kira integral tak tentu dan selesaikan masalah integrasi langkah demi langkah.
  • Kalkulator Integral: Selesaikan integral tak tentu atau tentu pemboleh ubah tunggal untuk latihan asas.
  • Kalkulator Derivatif Arah: Fahami kecerunan dan bagaimana fungsi berubah dalam arah tertentu.
  • Kalkulator Rata Tangen: Cari satah yang paling hampir menghampiri permukaan pada satu titik menggunakan analisis pembezaan.

Soalan Lazim (FAQ)

Apakah kegunaan integral tiga?

Integral tiga biasanya digunakan untuk mengira isipadu, jisim, dan kuantiti lain dalam kawasan tiga dimensi. Ia adalah konsep utama dalam fizik, kejuruteraan, dan kalkulus multivariable.

Sistem koordinat mana yang patut saya pilih?

Gunakan sistem yang sesuai dengan simetri kawasan anda:

  • Kartesian – untuk kubus, kotak, dan pepejal segi empat tepat
  • Silinder – untuk silinder dan bentuk bulat
  • Sfera – untuk sfera, hemisfera, dan simetri radial

Bolehkah kalkulator ini menunjukkan langkah-langkah?

Ya. Anda boleh mengaktifkan pilihan “Tunjukkan penyelesaian langkah demi langkah” untuk melihat integral diselesaikan secara berperingkat, yang sesuai untuk pembelajaran dan semakan kerja anda.

Bagaimana jika saya hanya mahu hasil berangka?

Aktifkan “Kira hasil berangka” untuk mendapatkan nilai perpuluhan anggaran. Ini berguna apabila integrasi simbolik terlalu rumit.

Adakah ini sesuai untuk digunakan di bilik darjah?

Sudah tentu. Kalkulator ini sesuai untuk pelajar dan pendidik untuk berlatih masalah, mengesahkan kerja rumah, atau digunakan semasa sesi pembelajaran.

Bagaimana Kalkulator Ini Membantu

Sama ada anda cuba mengira isipadu, menganalisis sistem fizikal, atau mendalami pemahaman anda tentang kalkulus, Kalkulator Integral Tiga menyediakan pandangan yang jelas dan boleh diambil tindakan. Ia adalah alat praktikal untuk kalkulus multivariable yang berfungsi dengan lancar dengan konsep lain seperti derivatif separa, teknik integrasi, dan analisis vektor.