Kalkulator Integral Berganda

Kategori: Kalkulus
- 03 Ogos 2025
| |

Kira integral dua kali ke atas kawasan segi empat dan kawasan umum. Kalkulator ini menyokong pengintegrasian simbolik, anggaran berangka, dan visualisasi integral dua kali dalam koordinat Kartesian dan polar.

Definisi Fungsi

Gunakan x, y untuk pemboleh ubah. Disokong: +, -, *, /, ^, sin, cos, tan, exp, ln, sqrt

Kawasan Pengintegrasian

Pilihan Pengiraan

Nilai lebih tinggi = lebih tepat, pengiraan lebih perlahan
Bilangan tempat perpuluhan dalam hasil

Pilihan Visualisasi

Tetapan Lanjutan

Hanya digunakan untuk kaedah Monte Carlo
Kriteria pemberhentian untuk kaedah iteratif

Teori Integral Dua Kali

Integral dua kali melanjutkan konsep integral tunggal kepada fungsi dua pemboleh ubah, membolehkan pengiraan isipadu di bawah permukaan, luas kawasan, dan pelbagai kuantiti fizikal seperti jisim dan momen.

Jenis Kawasan
  • Kawasan Segi Empat: Had ringkas untuk kedua-dua pemboleh ubah
  • Kawasan Jenis I: y berubah antara fungsi x
  • Kawasan Jenis II: x berubah antara fungsi y
  • Kawasan Polar: Kawasan yang lebih baik diterangkan dalam koordinat polar
Kaedah Integrasi Berangka
  • Kaedah Simpson: Menggunakan pendekatan parabola, ketepatan O(h⁴)
  • Kaedah Trapezoid: Menggunakan pendekatan linear, ketepatan O(h²)
  • Monte Carlo: Pensampelan rawak, berguna untuk kawasan kompleks
  • Kuadratur Gaussian: Penempatan nod optimum untuk fungsi polinomial
Transformasi Koordinat
  • Kartesian ke Polar: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
  • Jacobian: Faktor transformasi untuk perubahan pemboleh ubah
  • Susunan Integrasi: Kadangkala menukar susunan memudahkan pengiraan
Aplikasi
  • Isipadu: Isipadu di bawah permukaan z = f(x,y)
  • Luas: Luas kawasan dalam satah xy
  • Jisim: Jumlah jisim apabila f(x,y) mewakili ketumpatan
  • Pusat Jisim: Titik keseimbangan kawasan atau objek
  • Momen Inersia: Pengiraan inersia putaran

Penafian: Kalkulator ini menyediakan anggaran berangka dan pengiraan simbolik untuk tujuan pendidikan. Hasil mungkin mempunyai batasan pengiraan untuk fungsi yang sangat kompleks atau nilai ekstrem. Sentiasa sahkan pengiraan kritikal menggunakan pelbagai kaedah atau penyelesaian analitik jika boleh.

∬R f(x, y) dA

Apakah Kalkulator Integral Berganda?

Kalkulator Integral Berganda adalah alat interaktif untuk mengira nilai integral berganda ke atas kawasan dua dimensi. Ia membantu menilai jumlah pengumpulan fungsi ke atas suatu kawasan — sama ada mewakili isipadu di bawah permukaan, jumlah jisim, atau kuantiti fizikal lain.

Alat ini menyokong kawasan segi empat tepat dan kawasan yang lebih kompleks, serta berfungsi dengan koordinat Kartesian dan polar. Anda boleh memilih antara kaedah simbolik (tepat) dan berangka (anggaran), menjadikannya sesuai untuk pelbagai masalah dalam kalkulus dan fizik.

Cara Menggunakan Kalkulator

Ikuti langkah-langkah ini untuk melakukan pengiraan:

  • Masukkan Fungsi: Masukkan fungsi x dan y (contohnya, x*y, sin(x)*cos(y)).
  • Pilih Sistem Koordinat: Pilih antara koordinat Kartesian atau Polar berdasarkan susunan masalah.
  • Pilih Jenis Kawasan: Pilih daripada kawasan segi empat tepat, kawasan Jenis I/II, atau bentuk polar untuk lebih fleksibiliti.
  • Tetapkan Had: Tentukan had pengintegralan — sama ada berasaskan pemalar atau fungsi bergantung pada jenis kawasan.
  • Pilih Kaedah Pengintegralan: Pilih simbolik, berangka, atau kedua-duanya. Untuk berangka, anda boleh memilih daripada Kaedah Simpson, Kaedah Trapezoid, Monte Carlo, atau Kuadratur Gaussian.
  • Suaikan Pilihan: Laraskan saiz grid, ketepatan, dan tetapan visualisasi mengikut keperluan.
  • Klik “Kira”: Hasilnya akan merangkumi nilai integral, plot 3D pilihan, visual kontur, dan analisis terperinci.

Ciri-Ciri Utama

  • Menyokong pengintegralan simbolik dan berangka
  • Berfungsi dengan sistem koordinat Kartesian dan polar
  • Menyokong kawasan segi empat tepat, Jenis I, Jenis II, dan polar
  • Menawarkan output visual: plot permukaan, plot kontur, dan pemetaan kawasan
  • Termasuk kaedah berangka lanjutan seperti Monte Carlo dan Kuadratur Gaussian
  • Memaparkan penyelesaian langkah demi langkah dan analisis penumpuan

Mengapa Kalkulator Ini Berguna

Alat ini sesuai untuk pelajar, pendidik, jurutera, dan sesiapa yang bekerja dengan kalkulus multivariable. Ia membolehkan penilaian integral berganda dengan cepat dan jelas — sesuatu yang sering diperlukan semasa menyelesaikan masalah fizik atau melakukan pengiraan kawasan dan isipadu.

Sama ada anda perlu mengira isipadu di bawah permukaan, menilai jisim daripada fungsi ketumpatan, atau memvisualisasikan tingkah laku fungsi ke atas domain 2D, kalkulator ini memudahkan proses dan menjimatkan masa.

Hubungan dengan Kalkulator Lain

Jika anda juga bekerja dengan topik berkaitan, anda mungkin mendapat manfaat daripada alat berikut:

  • Kalkulator Antiderivatif: Membantu mencari antiderivatif dan menyelesaikan integral tak tentu dengan mudah.
  • Kalkulator Derivatif Separa: Sesuai untuk pembezaan multivariable dan mengira derivatif separa.
  • Kalkulator Derivatif Kedua: Berguna untuk analisis derivatif tertib kedua dan tingkah laku lengkung.
  • Kalkulator Derivatif Arah: Alat untuk menilai derivatif separa dalam arah tertentu atau kecerunan medan vektor.
  • Kalkulator Koordinat Polar: Membantu dengan pengiraan r dan θ serta penukaran sistem koordinat.
  • Kalkulator Integral: Alat umum untuk menyelesaikan integral tentu dan integral tak tentu.

Soalan Lazim

Apakah kegunaan integral berganda?

Integral berganda mengira nilai terkumpul fungsi ke atas kawasan dua dimensi. Aplikasi biasa termasuk mengira isipadu di bawah permukaan, jumlah jisim (jika ketumpatan diberikan), atau kawasan bentuk tidak teratur.

Apakah jenis fungsi yang boleh saya masukkan?

Anda boleh menggunakan fungsi yang melibatkan x dan y seperti polinomial, fungsi trigonometri, eksponen, logaritma, dan punca. Contoh: x*y, sin(x)*cos(y), e^(x^2 + y^2).

Kaedah mana yang patut saya pilih: berangka atau simbolik?

Gunakan pengintegralan simbolik untuk jawapan tepat (jika boleh), dan kaedah berangka apabila pengintegralan simbolik terlalu kompleks atau tidak wujud. Kaedah Simpson sering tepat untuk fungsi yang licin; Monte Carlo berguna untuk kawasan yang kompleks atau tidak teratur.

Bolehkah saya memvisualisasikan hasilnya?

Ya. Anda boleh mengaktifkan plot permukaan, peta kontur, dan diagram kawasan untuk memahami fungsi dan kawasan pengintegralan secara visual.

Adakah ini membantu dengan topik berkaitan seperti derivatif separa atau integral satu pemboleh ubah?

Sudah tentu. Kalkulator ini melengkapi alat seperti Kalkulator Derivatif Separa untuk pembezaan separa, dan Kalkulator Integral untuk menyelesaikan integral dalam masalah satu pemboleh ubah.

Ringkasan

Kalkulator Integral Berganda adalah penyelesaian berguna untuk sesiapa yang perlu mengira integral dua pemboleh ubah dengan cekap. Ia menawarkan hasil yang tepat, visualisasi yang jelas, dan pandangan pendidikan yang membantu pembelajaran dan penyelesaian masalah.