Kalkulator Fungsi Gamma

Kategori: Kalkulus
- 21 Julai 2025
| |

Fungsi Gamma memperluas fungsi faktorial kepada nombor kompleks dan bukan integer. Untuk integer positif, Γ(n) = (n-1)!

Pengira ini membolehkan anda mengira nilai fungsi Gamma untuk nombor nyata dan memvisualisasikan grafnya.

Parameter Input

Pilihan Paparan

About the Gamma Function

Fungsi Gamma adalah pengembangan fungsi faktorial kepada nilai kompleks dan bukan integer. Ia diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18 dan mempunyai banyak aplikasi dalam pelbagai bidang matematik, termasuk teori kebarangkalian, kombinatorik, dan teori nombor.

Ciri Utama
  • Pengembangan Faktorial: Untuk integer positif n, Γ(n) = (n-1)!
  • Hubungan Pengulangan: Γ(z+1) = z·Γ(z)
  • Nilai Khas: Γ(1) = 1, Γ(1/2) = √π
  • Formula Refleksi: Γ(z)·Γ(1-z) = π/sin(πz)
  • Formula Duplikasi: Γ(z)·Γ(z+1/2) = 21-2z·√π·Γ(2z)
Aplikasi

Fungsi Gamma muncul dalam banyak bidang termasuk:

  • Agihan statistik (Beta, Gamma, Chi-kuasa)
  • Penyelesaian kepada persamaan pembezaan
  • Teori nombor analitik
  • Fizik kuantum
  • Jajaran asimptotik dan anggaran

Apa Itu Fungsi Gamma?

Fungsi Gamma, yang dilambangkan sebagai Γ(z), adalah fungsi matematik yang memperluas idea faktorial kepada nombor nyata dan kompleks. Untuk sebarang integer positif n, fungsi Gamma memenuhi identiti:

Γ(n) = (n - 1)!

Tetapi ia juga berfungsi untuk nilai bukan integer, menjadikannya sangat berguna dalam matematik lanjutan dan sains terapan.

Definisi paling umum bagi fungsi Gamma diberikan oleh integral tidak tepat:

Γ(z) = ∫0∞ tz−1e−t dt

Integral ini konvergen untuk semua nombor kompleks dengan bahagian nyata positif dan menyediakan cara untuk menilai nilai seperti faktorial untuk perpuluhan, pecahan, dan bahkan beberapa nilai negatif (tidak termasuk integer negatif dan sifar).

Tujuan Kalkulator Fungsi Gamma

Kalkulator ini membantu anda mengira nilai fungsi Gamma untuk sebarang input nyata, bukan hanya nombor bulat. Sama ada anda sedang mempelajari kalkulus lanjutan atau memerlukan rujukan cepat untuk fungsi khas, alat ini memberikan hasil serta-merta dan visualisasi untuk meningkatkan pemahaman anda.

Bagaimana Menggunakan Kalkulator

Ikuti langkah-langkah ini untuk mengira nilai fungsi Gamma:

  • Masukkan nombor nyata dalam medan Input Value (z). Sebagai contoh, cuba 2.5.
  • Sesuaikan bilangan tempat perpuluhan yang anda inginkan dalam hasil.
  • Pilih sama ada untuk menunjukkan langkah pengiraan untuk memahami bagaimana hasil diperoleh.
  • Jika perlu, tetapkan julat khusus untuk memplot graf fungsi Gamma.
  • Klik butang Calculate untuk mendapatkan hasil anda.

Jika input anda adalah integer positif, kalkulator juga menunjukkan setara faktorial. Untuk input pecahan atau negatif (tidak termasuk integer negatif), ia menggunakan penganggaran lanjutan untuk mengira nilai yang tepat.

Manfaat dan Aplikasi

Fungsi Gamma muncul dalam banyak bidang sains dan matematik. Berikut adalah beberapa contoh di mana kalkulator ini boleh menjadi sangat berguna:

  • Dalam teori kebarangkalian, ia membantu mendefinisikan taburan kebarangkalian berterusan seperti taburan Gamma dan Chi-kuasa dua.
  • Dalam kalkulus, ia menyokong generalisasi fungsi faktorial yang digunakan dalam antiderivatif dan integral.
  • Dalam fizik, ia memainkan peranan dalam mekanik kuantum dan persamaan termodinamik.
  • Dalam analisis matematik, ia melengkapi alat seperti Kalkulator Derivatif Separuh atau Kalkulator Antiderivatif dengan mengendalikan fungsi khas yang muncul dalam formula lanjutan.

Ulasan Formula Fungsi Gamma

Beberapa identiti utama yang digunakan oleh kalkulator termasuk:

Γ(z+1) = z · Γ(z)
Γ(1) = 1,   Γ(1/2) = √π
Γ(z) · Γ(1 - z) = π / sin(πz)

Soalan Lazim (FAQ)

Apa yang berlaku jika saya memasukkan integer negatif atau sifar?

Fungsi Gamma tidak ditakrifkan untuk sifar atau integer negatif. Kalkulator akan menunjukkan hasil sebagai tidak ditakrifkan dalam kes tersebut.

Bolehkah saya menggunakan alat ini untuk input yang sangat besar?

Ya. Untuk nilai besar, kalkulator menggunakan anggaran Stirling untuk memastikan hasilnya masih tepat dan cepat.

Kenapa fungsi Gamma lebih baik daripada faktorial untuk bukan integer?

Faktorial hanya berfungsi untuk nombor bulat. Fungsi Gamma membolehkan anda mengira nilai "seperti faktorial" untuk perpuluhan dan pecahan, yang penting dalam bidang seperti statistik dan fizik.

Apa alat lain yang mungkin saya perlukan bersama kalkulator ini?

Bergantung pada apa yang anda kerjakan, anda mungkin juga mendapat manfaat daripada alat seperti:

  • Kalkulator Derivatif Separuh – Untuk mengira derivatif separuh dalam fungsi multivariable.
  • Kalkulator Antiderivatif – Untuk mencari antiderivatif dan menyelesaikan masalah pengintegralan.
  • Kalkulator Derivatif – Untuk hasil derivatif cepat dan analisis lengkung.
  • Kalkulator Derivatif Kedua – Untuk mengkaji kekonveksian dan titik infleksi.
  • Kalkulator Integral – Untuk menilai integral tertentu dan tidak tertentu.

Ringkasan

Kalkulator Fungsi Gamma adalah alat yang cepat dan intuitif untuk menilai fungsi Gamma bagi sebarang input nyata. Dengan graf visual, penyelesaian langkah demi langkah, dan kawalan ketepatan, ia adalah teman yang berguna dalam mempelajari fungsi lanjutan, menyelesaikan integral, atau meneroka topik yang melampaui faktorial tradisional.