Kalkulator Divergensi

- 15 Mei 2025
| |

Kira divergensi medan vektor. Divergensi mengukur kadar di mana "ketumpatan" keluar dari kawasan tertentu ruang dan merupakan konsep utama dalam kalkulus vektor.

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Input Medan Vektor

Pilihan Paparan

About Divergensi

Divergensi adalah kuantiti skalar yang mengukur kecenderungan medan vektor untuk "mengalir" menjauh atau menuju ke titik. Ia dilambangkan dengan ∇·F (del dot F) atau div F.

Definisi Matematik:

Untuk medan vektor F = (F₁, F₂, F₃) dalam koordinat Cartesian 3D, divergensi ditakrifkan sebagai:

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
Interpretasi Fizikal:

Divergensi mengukur aliran bersih medan keluar dari volume kecil di sekitar titik. Pada titik tertentu:

  • Divergensi positif: Medan mengalir ke luar (sumber)
  • Divergensi negatif: Medan mengalir ke dalam (sink)
  • Divergensi sifar: Medan tiada aliran keluar atau masuk bersih (tidak boleh dimampatkan)
Divergensi dalam Sistem Koordinat Berbeza:

Koordinat Cartesian (x, y, z):

∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Koordinat Silindrik (r, θ, z):

∇·F = (1/r) · ∂(r·Fr)/∂r + (1/r) · ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z

Koordinat Sfera (ρ, θ, φ):

∇·F = (1/ρ²) · ∂(ρ²·Fρ)/∂ρ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂(sin(φ)·Fθ)/∂θ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂Fφ/∂φ
Aplikasi:
  • Elektromagnetik: Hukum Gauss mengaitkan divergensi medan elektrik dengan ketumpatan cas
  • Dinamika Bendalir: Divergensi medan kelajuan menunjukkan kebolehmampatan bendalir
  • Pindahan Haba: Divergensi fluks haba menerangkan sumber atau sink haba
  • Mekanika Kuantum: Divergensi ketumpatan arus berkaitan dengan pemeliharaan cas

Kalkulator Divergensi: Penjelasan dan Panduan Penggunaan

Kalkulator Divergensi adalah alat interaktif yang direka untuk mengira divergensi medan vektor tiga dimensi. Ia menyediakan cara intuitif untuk mengira dan memvisualisasikan divergensi medan vektor ( \mathbf{F}(x, y, z) ), menawarkan kedua-dua representasi simbolik divergensi dan penilaiannya pada titik tertentu. Selain itu, alat ini menghasilkan visualisasi grafik medan vektor untuk membantu pengguna mendapatkan pemahaman yang lebih mendalam tentang tingkah lakunya.

Apa itu Divergensi?

Divergensi adalah kuantiti skalar yang mengukur kadar di mana medan vektor menyebar atau berkumpul pada titik tertentu. Secara matematik, divergensi medan vektor ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) diberikan oleh:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

  • Jika divergensi positif, medan vektor menyebar pada titik itu.
  • Jika divergensi negatif, medan vektor berkumpul pada titik itu.
  • Jika divergensi adalah sifar, medan itu dikatakan solenoidal pada titik itu.

Kalkulator ini menyediakan kedua-dua divergensi simbolik dan pilihan untuk menilainya secara numerik pada titik tertentu.

Ciri-ciri Kalkulator Divergensi

  • Divergensi Simbolik: Mengira secara automatik derivatif separa komponen medan vektor dan membina persamaan divergensi.
  • Penilaian Titik: Menilai divergensi secara numerik pada titik tertentu ( (x, y, z) ).
  • Visualisasi Grafik: Memaparkan representasi 3D medan vektor menggunakan kemampuan plot 3D interaktif Plotly.
  • Contoh Dropdown: Memuatkan contoh medan vektor yang telah ditetapkan untuk penerokaan dengan cepat.
  • Pengendalian Ralat: Memastikan bahawa input yang tidak sah atau tidak lengkap ditangani dengan baik.

Cara Menggunakan Kalkulator Divergensi

Ikuti langkah-langkah mudah ini untuk menggunakan kalkulator dengan berkesan:

  1. Masukkan Medan Vektor:
  2. Masukkan komponen ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ), dan ( R(x, y, z) ) medan vektor ke dalam kotak input yang sesuai.

  3. Sebagai contoh:

    • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
    • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
    • ( R(x, y, z) = e^z )

  4. Pilih Contoh:

  5. Gunakan menu dropdown untuk memuatkan contoh medan vektor yang telah ditetapkan.

  6. Tentukan Titik Penilaian (Pilihan):

  7. Jika anda ingin menilai divergensi pada titik tertentu, masukkan nilai ( x ), ( y ), dan ( z ) dalam medan yang sesuai.

  8. Klik "Kira":

  9. Kalkulator akan:

    • Mengira divergensi simbolik.
    • Menilai divergensi pada titik yang ditentukan (jika diberikan).
    • Memaparkan pecahan langkah demi langkah pengiraan.
    • Menghasilkan visualisasi 3D medan vektor.

  10. Kosongkan Input:

  11. Gunakan butang "Kosongkan" untuk menetapkan semula kalkulator.

Contoh Panduan

Contoh Medan Vektor:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

  1. Masukkan komponen:
  2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
  3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

  4. ( R(x, y, z) = e^z )

  5. Klik "Kira." Kalkulator akan:

  6. Mengira derivatif separa:
    • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
    • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
    • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
  7. Menggabungkannya untuk mencari: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

  8. Jika titik penilaian ( (x=1, y=1, z=0) ) diberikan, hasilnya akan dinilai sebagai: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

  9. Visualisasikan medan vektor 3D yang dihasilkan pada graf.

Soalan Lazim

1. Format input apa yang disokong untuk komponen medan vektor?

Kalkulator menyokong fungsi dalam istilah ( x ), ( y ), dan ( z ). Contoh termasuk: - Fungsi polinomial: ( x^2, y^2 + z ) - Fungsi trigonometri: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Fungsi eksponen: ( e^z, x \cdot e^y )

2. Apa yang berlaku jika saya tidak memberikan titik penilaian?

Jika tiada titik penilaian yang ditentukan, kalkulator hanya akan memaparkan persamaan divergensi simbolik.

3. Bolehkah saya menggunakan kalkulator ini untuk medan vektor 2D?

Ya, hanya tinggalkan komponen ( R(x, y, z) ) kosong atau tetapkan kepada sifar.

4. Bagaimana visualisasi medan vektor 3D dihasilkan?

Kalkulator menggunakan Plotly untuk mencipta graf medan vektor 3D interaktif. Setiap anak panah mewakili arah dan magnitud medan pada titik tertentu.

5. Apa yang berlaku jika input saya mempunyai ralat?

Kalkulator memeriksa ralat seperti komponen yang hilang atau ungkapan yang tidak sah. Mesej ralat yang deskriptif akan membimbing anda untuk membetulkan isu tersebut.

Ringkasan

Kalkulator Divergensi memudahkan proses menganalisis medan vektor dengan mengautomasikan pengiraan divergensi dan menyediakan representasi visual yang jelas. Sama ada anda seorang pelajar, guru, atau profesional, alat ini adalah sempurna untuk mendapatkan pemahaman tentang tingkah laku medan vektor dalam ruang 3D. Mulakan penerokaan sekarang untuk membuka potensi penuh kalkulator yang berkuasa ini!