Kalkulator Derivatif Terbalik

Kategori: Kalkulus
- 25 Julai 2025
| |

Cari antiderivatif (integral tidak terhingga) bagi suatu fungsi. Kalkulator ini membantu anda menentukan fungsi asal dari derivatifnya.

Fungsi Input

Pilihan Paparan

Mengenai Antiderivatif dan Integrasi

Antiderivatif (atau integral tidak terhingga) bagi suatu fungsi f(x) adalah fungsi F(x) yang derivatifnya adalah f(x). Dalam erti kata lain, jika F'(x) = f(x), maka F(x) adalah antiderivatif bagi f(x).

Ciri-Ciri Utama Antiderivatif
  • Jika F(x) adalah antiderivatif bagi f(x), maka F(x) + C juga merupakan antiderivatif, di mana C adalah sebarang pemalar
  • Antiderivatif bagi jumlah adalah jumlah antiderivatif: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • Peraturan gandaan pemalar: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, di mana k adalah pemalar
  • Peraturan kuasa: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, di mana n ≠ -1
  • Integrasi e^x: ∫e^x dx = e^x + C
  • Integrasi 1/x: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
Aplikasi Integrasi

Antiderivatif dan integrasi mempunyai banyak aplikasi dalam:

  • Mencari luas di bawah lengkung dan antara lengkung
  • Mengira isipadu objek tiga dimensi
  • Menyelesaikan persamaan pembezaan
  • Aplikasi fizik: kerja, tenaga, dan gerakan
  • Probabiliti dan statistik
  • Kejuruteraan: analisis tegasan, dinamik bendalir, dsb.

Apakah Derivatif Invers?

Derivatif invers membantu mengira derivatif bagi invers fungsi yang diberikan. Untuk fungsi ( f(x) ), derivatif bagi inversnya, ( f^{-1}(x) ), ditentukan menggunakan formula:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Formula ini muncul dari hubungan ( f(f^(-1)(x)) = x ). Dengan membeza kedua-dua belah dengan respect kepada ( x ), kita mendapat:

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

Menyelesaikan untuk ( (f^(-1)(x))' ), kita memperoleh:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Konsep ini sangat berguna dalam kalkulus untuk menganalisis seberapa cepat fungsi invers berubah pada titik tertentu.

Ciri-ciri Kalkulator Derivatif Invers

  • Langkah Terperinci: Masukkan fungsi dan nilai ( x ) untuk melihat penyelesaian langkah demi langkah yang terperinci.
  • Fungsi Contoh: Uji kalkulator dengan fungsi yang telah dimuatkan seperti ( f(x) = x^2 + 1 ), ( f(x) = e^x ), atau ( f(x) = ln(x) ).
  • Visualisasi Grafikal: Kalkulator memplot kedua-dua fungsi dan derivatif inversnya.

Cara Menggunakan Kalkulator Derivatif Invers

  1. Masukkan Fungsi: Input fungsi ( f(x) ) yang derivatif inversnya ingin anda kira. Contohnya: x^2 + 1 atau e^x.
  2. Tentukan Nilai ( x ): Masukkan titik di mana anda ingin mengira derivatif fungsi invers.
  3. Klik Kira: Lihat hasilnya bersama dengan penjelasan terperinci tentang pengiraan.
  4. Jelajahi Contoh yang Dimuatkan: Gunakan menu dropdown untuk mencuba fungsi contoh dan lihat bagaimana kalkulator berfungsi.

Contoh Panduan

Katakan anda ingin mengira derivatif invers bagi ( f(x) = x^2 + 1 ) pada ( x = 2 ):

  1. Derivatif bagi ( f(x) ) adalah:

( f'(x) = 2 * x )

  1. Nilai ( f'(2) ):

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. Menggunakan formula untuk derivatif invers:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Pada ( x = 2 ), derivatif invers adalah:

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

Manfaat Utama Menggunakan Kalkulator Ini

  • Kira dengan cepat derivatif invers bagi fungsi kompleks.
  • Visualisasikan fungsi dan derivatif inversnya pada graf interaktif.
  • Fahami proses melalui penyelesaian langkah demi langkah.