Kalkulator Curl

Kategori: Kalkulus
- 07 Jun 2025
| |

Kira curl bagi medan vektor pada titik tertentu. Curl adalah ukuran bagi putaran atau peredaran medan vektor dan biasanya digunakan dalam fizik dan kejuruteraan.

Input Medan Vektor

Komponen Vektor F(x,y,z) = F₁i + F₂j + F₃k

Titik Penilaian

Opsyen Paparan

Mengenai Curl dalam Kalkulus Vektor

Curl bagi medan vektor adalah pengendali vektor yang menerangkan putaran infinitesimal bagi medan vektor. Ia adalah ukuran bagi ketumpatan peredaran pada setiap titik dalam medan.

Dalam istilah fizik, curl bagi medan vektor adalah peredaran per unit kawasan dalam arah normal kepada kawasan tersebut. Sebagai contoh, dalam dinamik bendalir, curl bagi medan kelajuan (∇ × v) adalah vorticity, yang mengukur putaran tempatan bendalir.

Aplikasi Curl
  • Dinamik Bendalir: Curl bagi medan kelajuan memberikan vorticity bendalir.
  • Elektromagnetisme: Persamaan Maxwell mengaitkan curl bagi medan elektrik dan magnet kepada sumbernya.
  • Teorem Stokes: Mengaitkan integral permukaan curl kepada integral garis di sekitar sempadan.
  • Pemisahan Helmholtz: Mana-mana medan vektor boleh dipecahkan kepada bahagian tanpa curl dan bahagian tanpa divergensi.
Sifat Curl
  • Curl bagi gradien sentiasa sifar: ∇ × (∇f) = 0
  • Curl bagi curl boleh dinyatakan sebagai: ∇ × (∇ × F) = ∇(∇·F) - ∇²F
  • Untuk medan vektor konservatif, curl adalah sifar di mana-mana
  • Curl adalah pengendali linear: ∇ × (αF + βG) = α(∇ × F) + β(∇ × G)

Kalkulator Curl: Panduan Komprehensif

Kalkulator Curl adalah alat yang kuat yang direka untuk mengira curl medan vektor dalam ruang tiga dimensi. Operasi ini adalah konsep asas dalam kalkulus vektor, digunakan secara meluas dalam fizik dan kejuruteraan untuk menerangkan sifat putaran medan, seperti putaran cecair atau tingkah laku medan magnet dan elektrik.

Apa itu Curl?

Curl medan vektor mengukur kecenderungan putaran medan pada satu titik. Secara matematik, untuk medan vektor ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ), curl ditakrifkan sebagai:

[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ P & Q & R \end{bmatrix} ]

Determinant ini berkembang menjadi komponen:

[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \end{bmatrix} ]

Ciri-ciri Kalkulator Curl

  • Komponen Medan Vektor Input: Masukkan komponen ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ), dan ( R(x, y, z) ) bagi medan vektor.
  • Menilai pada Titik Tertentu: Jika mahu, berikan nilai untuk ( x ), ( y ), dan ( z ) untuk mengira curl pada titik tertentu.
  • Visualisasi: Visualisasi medan vektor 3D membolehkan anda meneroka sifat putaran secara visual.
  • Contoh: Contoh yang telah ditetapkan memudahkan pemahaman dan pengujian alat ini.

Cara Menggunakan Kalkulator Curl

  1. Masukkan Komponen Medan Vektor:
  2. Masukkan ungkapan untuk ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ), dan ( R(x, y, z) ).
  3. Pilih Contoh (Pilihan):
  4. Pilih contoh yang telah ditetapkan dari dropdown untuk mengisi input secara automatik.
  5. Tentukan Titik Penilaian (Pilihan):
  6. Jika dikehendaki, berikan nilai numerik untuk ( x ), ( y ), dan ( z ) untuk mengira curl pada titik tertentu.
  7. Kira:
  8. Klik butang "Kira" untuk mengira curl dan melihat hasilnya, termasuk pecahan langkah demi langkah bagi pengiraan.
  9. Kosongkan:
  10. Gunakan butang "Kosongkan" untuk menetapkan semula input dan hasil.

Pengiraan Contoh

Untuk ( P = yz ), ( Q = xz ), dan ( R = xy ):

  1. Kira derivatif separa: [ \frac{\partial Q}{\partial z} = x, \quad \frac{\partial R}{\partial y} = x ] [ \frac{\partial R}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial P}{\partial x} = 0 ] [ \frac{\partial P}{\partial y} = z, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = z ]

  2. Kira komponen curl: [ \text{Curl X} = \frac{\partial Q}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial y} = x - x = 0 ] [ \text{Curl Y} = \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial x} = y - 0 = y ] [ \text{Curl Z} = \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = z - z = 0 ]

  3. Hasil: [ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} 0 \ y \ 0 \end{bmatrix} ]

Soalan Lazim (FAQ)

Apa itu medan vektor?

Medan vektor memberikan vektor kepada setiap titik dalam ruang, sering digunakan untuk mewakili fenomena fizikal seperti aliran cecair atau medan elektromagnet.

Apa yang diwakili oleh curl secara fizikal?

Curl menunjukkan putaran atau "putaran" medan vektor pada titik tertentu.

Bolehkah saya mengira curl untuk medan 2D?

Walaupun curl adalah operasi 3D, ia akan menjadi nilai skalar dalam medan vektor 2D.

Apakah fungsi yang disokong?

Kalkulator menyokong fungsi matematik biasa seperti ungkapan trigonometri, eksponen, logaritma, dan polinomial.

Kesimpulan

Kalkulator Curl memudahkan proses menentukan curl medan vektor, menjadikannya mudah diakses untuk pelajar, jurutera, dan ahli fizik. Gunakan ia untuk memahami putaran medan vektor dan meningkatkan pengalaman penyelesaian masalah anda!