Kalkulator Teorem De Moivre

Apa itu Teorem De Moivre?

Teorem De Moivre adalah prinsip matematik asas yang menghubungkan nombor kompleks yang dinyatakan dalam bentuk polar dengan kuasa dan akar mereka. Ia menyatakan bahawa untuk mana-mana nombor kompleks \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \) dan integer \( n \), kuasa \( z^n \) boleh dikira sebagai:

\[ z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)). \]

Teorem ini sangat berguna untuk memudahkan pengiraan nombor kompleks, terutamanya apabila menaikkan nombor kompleks kepada kuasa atau mencari akarnya. Dengan menggunakan koordinat polar, Teorem De Moivre mengelakkan pengiraan algebra yang membosankan, menjadikannya alat penting dalam matematik dan kejuruteraan.

Bagaimana Menggunakan Kalkulator Teorem De Moivre

Kalkulator Teorem De Moivre memudahkan untuk menggunakan teorem ini bagi mana-mana nombor kompleks yang dinyatakan dalam bentuk polar. Berikut adalah cara untuk menggunakannya dengan berkesan:

1. Masukkan magnitud \( r \): Masukkan magnitud nombor kompleks (jarak dari asal ke titik dalam pelan kompleks).
2. Masukkan sudut \( \theta \) dalam darjah: Nyatakan sudut nombor kompleks dalam darjah. Ini adalah sudut yang dibentuk antara paksi nyata dan garis yang menghubungkan asal ke titik dalam pelan kompleks.
3. Masukkan kuasa \( n \): Berikan kuasa yang anda ingin naikkan nombor kompleks.
4. Klik "Kira": Kalkulator akan mengira bentuk polar baru dan bentuk segi empat (bahagian nyata dan khayalan) nombor kompleks yang dinaikkan kepada kuasa yang ditentukan.
5. Lihat graf: Kalkulator memaparkan nombor kompleks yang dihasilkan pada graf, menunjukkan komponen nyata dan khayalan.
6. Klik "Kosongkan": Gunakan butang ini untuk menetapkan semula input dan hasil.

Manfaat Kalkulator

• Mengautomatikkan pengiraan kompleks menggunakan Teorem De Moivre.
• Menyediakan penyelesaian yang jelas dan langkah demi langkah untuk pemahaman yang lebih baik.
• Memvisualisasikan hasil pada graf untuk pemahaman intuitif.
• Menyokong pelbagai kes penggunaan dalam matematik, fizik, dan kejuruteraan.

Contoh Langkah demi Langkah

Mari kita pertimbangkan satu contoh untuk menunjukkan bagaimana kalkulator berfungsi. Katakan kita mempunyai nombor kompleks dengan magnitud \( r = 2 \), sudut \( \theta = 45° \), dan kita ingin menaikkannya kepada kuasa \( n = 3 \).

1. Tukar sudut \( \theta \) dari darjah ke radian: \[ \text{Sudut dalam radian} = \frac{\theta \cdot \pi}{180} = \frac{45 \cdot \pi}{180} = 0.785 \text{ radian}. \]
2. Kira magnitud baru: \[ r^n = 2^3 = 8. \]
3. Kira sudut baru: \[ n \cdot \theta = 3 \cdot 45° = 135°. \]
4. Tulis bentuk polar baru: \[ z^3 = 8(\cos(135°) + i\sin(135°)). \]
5. Tukar kepada bentuk segi empat: \[ z = -5.66 + 5.66i. \]

Kalkulator melakukan semua langkah ini untuk anda dan memaparkan hasil serta graf dengan segera.

Soalan Lazim (FAQ)

• Apa itu bentuk polar?
  Bentuk polar adalah cara untuk menyatakan nombor kompleks sebagai \( r(\cos\theta + i\sin\theta) \), di mana \( r \) adalah magnitud dan \( \theta \) adalah sudut.
• Bolehkah saya menggunakan kalkulator ini untuk kuasa negatif?
  Ya, kalkulator menyokong kedua-dua kuasa positif dan negatif.
• Bagaimana jika sudut saya dalam radian?
  Pada masa ini, kalkulator memerlukan sudut dimasukkan dalam darjah. Tukar radian kepada darjah menggunakan \( \theta_{deg} = \theta_{rad} \cdot \frac{180}{\pi} \).
• Sejauh mana ketepatan hasilnya?
  Kalkulator memberikan hasil yang dibundarkan kepada dua tempat perpuluhan untuk kebolehbacaan yang lebih baik. Ketepatan penuh digunakan dalam pengiraan.
• Apa yang ditunjukkan oleh graf?
  Graf memplot nombor kompleks yang dihasilkan dengan bahagian nyata dan khayalan, membantu anda memvisualisasikan lokasinya dalam pelan kompleks.

Kesimpulan

Kalkulator Teorem De Moivre adalah alat yang berkuasa untuk menaikkan nombor kompleks dalam bentuk polar kepada mana-mana kuasa. Sama ada anda seorang pelajar, guru, atau profesional, alat ini memudahkan proses dan meningkatkan pemahaman anda tentang nombor kompleks. Cubalah sekarang dan terokai keindahan matematik!