Kalkulator Nombor Kompleks

Kategori: Algebra II
- 12 Oktober 2025
| |

Pengira ini membantu anda melakukan operasi dengan nombor kompleks dalam bentuk a + bi, di mana i adalah unit khayalan.

Input Nombor Kompleks

+ i
+ i

Operasi

+ Penjumlahan
− Penolakan
× Pendaraban
÷ Pembahagian
z* Konjugat
|z| Modulus
arg(z) Argumen
reiθ Bentuk Polar
z2 Kuasa Dua
√z Akar Kuasa Dua
zn Kuasa
n√z Akar ke-n

Opsyen Paparan

Mengenai Nombor Kompleks

Nombor kompleks adalah nombor dalam bentuk a + bi, di mana a dan b adalah nombor nyata, dan i adalah unit khayalan dengan sifat i² = -1. Mereka memperluas konsep garis nombor satu dimensi kepada pelan kompleks dua dimensi.

Operasi Utama dengan Nombor Kompleks
  • Penjumlahan: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • Penolakan: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • Pendaraban: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
  • Pembahagian: (a + bi)/(c + di) = ((ac + bd)/(c² + d²)) + ((bc - ad)/(c² + d²))i
  • Konjugat: (a + bi)* = a - bi
  • Modulus: |a + bi| = √(a² + b²)
  • Argumen: arg(a + bi) = tan⁻¹(b/a) (dengan penyesuaian kuadran yang sesuai)
Bentuk Nombor Kompleks
  • Bentuk Segi Empat: z = a + bi (koordinat Cartesian)
  • Bentuk Polar: z = r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ) (di mana r adalah modulus dan θ adalah argumen)
Aplikasi Nombor Kompleks

Nombor kompleks adalah penting dalam:

  • Kejuruteraan elektrik dan pemprosesan isyarat
  • Mekanika kuantum dan fizik
  • Teori kawalan dan analisis sistem
  • Dinamika cecair dan aerodinamik
  • Grafik komputer dan fraktal

Apa itu Nombor Kompleks?

Sebuah nombor kompleks adalah nombor yang terdiri daripada dua bahagian:

  • Sebuah bahagian nyata: Diwakili sebagai nombor biasa (contohnya, 3).
  • Sebuah bahagian khayalan: Diwakili sebagai nombor yang didarabkan dengan i, di mana i adalah punca kuasa dua dari -1.

Sebuah nombor kompleks ditulis dalam bentuk:

a + bi

Di mana:

  • a adalah bahagian nyata.
  • b adalah pekali bahagian khayalan.

Contohnya:

  • 2 + 3i adalah nombor kompleks.
  • 5 + 0i adalah nombor nyata (tiada bahagian khayalan).
  • 0 + 4i adalah nombor khayalan tulen.

Aplikasi Nombor Kompleks

Nombor kompleks digunakan dalam pelbagai bidang:

  • Kejuruteraan: Analisis litar, pemprosesan isyarat.
  • Matematik: Menyelesaikan persamaan kuadratik, fraktal.
  • Fizik: Mewakili gelombang dan getaran.

Ciri-Ciri Kalkulator Nombor Kompleks

  • Arithmetik Asas: Melakukan penjumlahan, pengurangan, pendaraban, dan pembahagian dua nombor kompleks.
  • Pengiraan Konjugat: Mencari konjugat bagi nombor kompleks.
  • Modulus: Mengira magnitud nombor kompleks.
  • Penukaran Bentuk Polar: Mengungkapkan nombor kompleks dalam koordinat polar.
  • Invers: Mengira kebalikan nombor kompleks.
  • Penerangan Langkah demi Langkah: Melihat langkah terperinci bagi setiap pengiraan.

Bagaimana Menggunakan Kalkulator Nombor Kompleks

Langkah 1: Masukkan Nombor Kompleks

  • Masukkan bahagian nyata dan khayalan bagi nombor kompleks pertama dalam medan yang dilabel Nombor Kompleks 1.
  • Masukkan bahagian nyata dan khayalan bagi nombor kompleks kedua dalam medan yang dilabel Nombor Kompleks 2.

Langkah 2: Pilih Operasi

  • Pilih operasi dari menu dropdown:
    • Penjumlahan (+): Menjumlahkan dua nombor kompleks.
    • Pengurangan (-): Mengurangkan nombor kompleks kedua dari yang pertama.
    • Pendaraban (*): Mendarabkan dua nombor kompleks menggunakan kaedah FOIL.
    • Pembahagian (/): Membahagikan nombor kompleks pertama dengan yang kedua.
    • Konjugat: Mencari konjugat bagi nombor kompleks pertama.
    • Modulus: Mengira magnitud nombor kompleks pertama.
    • Bentuk Polar: Menukar nombor kompleks pertama kepada koordinat polar.
    • Invers: Mengira kebalikan nombor kompleks pertama.

Langkah 3: Klik "Kira"

  • Tekan butang "Kira" untuk melakukan pengiraan. Kalkulator akan:
    • Memaparkan hasil dalam bahagian hasil.
    • Menyediakan pecahan terperinci bagi setiap langkah pengiraan.

Langkah 4: Kosongkan Medan

  • Tekan butang "Kosongkan" untuk menetapkan semula semua medan dan memulakan pengiraan baru.

Contoh Pengiraan

Contoh 1: Penjumlahan

Input:

  • Nombor Kompleks 1: 2 + 3i
  • Nombor Kompleks 2: 4 + 5i
  • Operasi: Penjumlahan

Pengiraan:

(2 + 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (3 + 5)i = 6 + 8i

Output:

  • Hasil: 6 + 8i

Contoh 2: Bentuk Polar

Input:

  • Nombor Kompleks: 2 + 3i
  • Operasi: Bentuk Polar

Pengiraan:

r = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13) ≈ 3.61

θ = tan-1(3/2) ≈ 0.98 radian

Bentuk Polar = 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

Output:

  • Hasil: 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

Soalan Lazim (FAQ)

Apa itu kaedah FOIL untuk nombor kompleks?

Kaedah FOIL bermaksud:

  • F: Darabkan terma Pertama.
  • O: Darabkan terma Luar.
  • I: Darabkan terma Dalam.
  • L: Darabkan terma Terakhir.

Untuk dua nombor kompleks (a + bi) dan (c + di), FOIL memudahkan pendaraban sebagai:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2

Oleh kerana i^2 = -1, hasilnya menjadi:

(ac - bd) + (ad + bc)i

Bagaimana modulus nombor kompleks dikira?

Modulus (atau magnitud) bagi a + bi adalah:

|a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)

Ia mewakili jarak nombor kompleks dari asal dalam bidang kompleks.

Apa itu konjugat bagi nombor kompleks?

Konjugat bagi a + bi adalah a - bi. Ia diperoleh dengan membalikkan tanda bahagian khayalan.

Apa itu bentuk polar bagi nombor kompleks?

Bentuk polar bagi a + bi adalah:

r(cos θ + i sin θ)

Di mana:

Bolehkah saya membahagikan dengan sifar menggunakan nombor kompleks?

Tidak, pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan untuk nombor nyata dan kompleks. Jika nombor kompleks kedua adalah 0 + 0i, kalkulator akan memaparkan ralat.

Manfaat Kalkulator Nombor Kompleks

  • Pendidikan: Memecahkan setiap operasi kepada langkah-langkah yang mudah diikuti.
  • Ketepatan: Mengendalikan arithmetik kompleks dengan ketepatan.
  • Serbaguna: Termasuk operasi lanjutan seperti bentuk polar dan pengiraan modulus.
  • Mesra Pengguna: Antara muka yang sederhana untuk pengiraan cepat.

Kalkulator ini adalah ideal untuk pelajar, jurutera, dan sesiapa sahaja yang bekerja dengan nombor kompleks!