Kalkulator Bentuk Polar ke Nombor Kompleks

Kategori: Algebra II

- 25 Jun 2025

| |

Menukar antara bentuk polar (r∠θ) dan bentuk segi empat (a + bi) nombor kompleks, dan melakukan operasi dalam mana-mana representasi.

Masukkan Nombor Kompleks

Bentuk Masukan:

Magnitud (r):

Sudut (θ):

Operasi

⟷ Tukar

z×n Darab dengan n

zⁿ Naikkan kepada Kuasa

ⁿ√z Cari Akar

Pilihan Paparan

Tempat Perpuluhan:

Tunjukkan langkah

Tunjukkan visualisasi

Mengenai Nombor Kompleks dan Bentuk Polar

Nombor kompleks boleh diwakili dalam dua bentuk utama: bentuk segi empat (a + bi) dan bentuk polar (r∠θ atau re^iθ). Representasi yang berbeza ini berguna untuk jenis operasi yang berbeza.

Penukaran Antara Bentuk

Segi Empat kepada Polar:
- Magnitud (r): r = √(a² + b²)
- Sudut (θ): θ = tan^-1(b/a) (dengan penyesuaian kuadran yang sesuai)
Polar kepada Segi Empat:
- Bahagian real (a): a = r × cos(θ)
- Bahagian imajineri (b): b = r × sin(θ)

Kelebihan Bentuk Polar

Bentuk polar menjadikan operasi tertentu sangat mudah:

Darab: Untuk mendarab nombor kompleks, darabkan magnitud mereka dan tambahkan sudut mereka.
Pembahagian: Bahagikan magnitud dan tolak sudut.
Kuasa: Menggunakan formula De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠(nθ)
Akar: Akar n^th bagi r∠θ diberikan oleh: r^1/n∠((θ + 2πk)/n) untuk k = 0, 1, 2, ..., n-1

Aplikasi

Perwakilan polar nombor kompleks sangat berguna dalam:

Kejuruteraan elektrik dan analisis litar AC
Pemprosesan isyarat dan transformasi Fourier
Sistem kawalan dan analisis kestabilan
Dinamika cecair dan aerodinamik
Grafik komputer dan transformasi geometri

Memahami Penukaran Bentuk Polar kepada Nombor Kompleks

Bentuk polar dan nombor kompleks adalah dua cara untuk mewakili konsep matematik yang sama: satu titik atau vektor dalam pelan 2D. Bentuk polar menggunakan magnitud dan sudut, manakala nombor kompleks menggunakan bahagian nyata dan bahagian khayalan. Menukar dari bentuk polar kepada nombor kompleks adalah proses yang mudah yang melibatkan fungsi trigonometri untuk menentukan komponen nyata dan khayalan.

Kalkulator ini memudahkan penukaran, membolehkan pengguna untuk dengan cepat dan tepat mengubah koordinat polar kepada bentuk segi empat (kompleks) dengan panduan langkah demi langkah dan representasi visual.

Bagaimana Menggunakan Kalkulator Penukaran Polar kepada Nombor Kompleks

Ikuti langkah-langkah ini untuk menukar bentuk polar kepada nombor kompleks menggunakan kalkulator:

Masukkan magnitud (\(r\)) dalam medan yang ditetapkan. Sebagai contoh, masukkan "5".
Masukkan sudut (\(\theta\)) dalam darjah dalam medan yang disediakan. Sebagai contoh, masukkan "53.13".
Medan sudut berulang akan secara automatik diisi untuk sepadan dengan input sudut anda.
Klik butang "Tukar" untuk melakukan penukaran.
Lihat hasil, penjelasan langkah demi langkah, dan graf visual nombor kompleks.

Ciri-ciri Kalkulator

Kalkulator ini menawarkan ciri-ciri berikut:

Input Mudah: Masukkan magnitud dan sudut secara langsung.
Penjelasan Langkah demi Langkah: Langkah-langkah terperinci menerangkan bagaimana penukaran dilakukan.
Representasi Grafikal: Visualisasikan nombor kompleks pada pelan 2D dengan paksi nyata dan khayalan.
Reka Bentuk Responsif: Alat ini mesra mudah alih, menyesuaikan diri dengan pelbagai saiz skrin untuk pengalaman yang lancar.
Hasil Jelas: Mengeluarkan nombor kompleks yang ditukar dan komponennya dalam format yang bersih dan mudah diakses.

Aplikasi Penukaran Bentuk Polar kepada Nombor Kompleks

Menukar bentuk polar kepada nombor kompleks mempunyai aplikasi praktikal dalam pelbagai bidang, termasuk:

Kejuruteraan Elektrik: Mewakili dan menganalisis bentuk gelombang AC dan impedans.
Fizik: Menerangkan daya dan vektor dalam koordinat polar dan segi empat.
Matematik: Menyelesaikan masalah yang melibatkan nombor kompleks, trigonometri, dan kalkulus.
Pemprosesan Isyarat: Mewakili isyarat dan transformasinya.

Contoh Pengiraan

Katakan anda mempunyai bentuk polar \(z = 5 (\cos(53.13°) + i \sin(53.13°))\). Menggunakan kalkulator:

Magnitud \(r = 5\) dan sudut \(\theta = 53.13°\).
Bahagian nyata dikira sebagai \(5 \cos(53.13°) = 3.00\).
Bahagian khayalan dikira sebagai \(5 \sin(53.13°) = 4.00\).
Nombor kompleks yang dihasilkan adalah \(z = 3.00 + 4.00i\).

Soalan Lazim (FAQ)

Apa itu bentuk polar?

Bentuk polar mewakili nombor kompleks sebagai magnitud (\(r\)) dan sudut (\(\theta\)), ditulis sebagai \(r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\).

Apa itu nombor kompleks?

Nombor kompleks mempunyai bahagian nyata dan bahagian khayalan, ditulis sebagai \(z = a + bi\), di mana \(a\) adalah bahagian nyata, \(b\) adalah bahagian khayalan, dan \(i\) adalah punca kuasa dua daripada \(-1\).

Kenapa penukaran bentuk polar kepada nombor kompleks berguna?

Penukaran ini berguna untuk melakukan operasi aritmetik, memvisualisasikan vektor, dan menganalisis isyarat atau sistem dalam kejuruteraan dan fizik.

Bagaimana jika sudut saya negatif?

Kalkulator boleh mengendalikan sudut negatif. Ia mewakili putaran mengikut arah jam dan ditukar dengan betul semasa pengiraan.

Bolehkah saya memasukkan sudut dalam radian?

Pada masa ini, kalkulator menerima sudut dalam darjah. Untuk menukar radian kepada darjah, darabkan dengan \(180/\pi\).

Adakah kalkulator memaparkan hasil secara grafikal?

Ya, kalkulator menyediakan representasi visual nombor kompleks pada pelan 2D dengan paksi nyata dan khayalan.

Bagaimana jika saya memasukkan input yang tidak sah?

Kalkulator mengesahkan input. Jika magnitud atau sudut tidak sah, ia akan meminta anda untuk memasukkan nombor yang sah.

Cuba Sendiri!

Gunakan Kalkulator Penukaran Bentuk Polar kepada Nombor Kompleks ini untuk memudahkan kerja anda dan mendapatkan pemahaman tentang proses penukaran. Sama ada anda seorang pelajar, jurutera, atau peminat matematik, alat ini akan menjimatkan masa dan usaha anda!