Kalkulator Akar Kompleks

Kategori: Algebra II

- 20 Julai 2025

| |

Cari semua akar kompleks dan nyata bagi polinomial dan persamaan transcendental asas, menggunakan kaedah numerikal.

Input Persamaan

Jenis Persamaan:

Darjah:

Julat Carian

Minimum Nyata:

Maksimum Nyata:

Minimum Imaginer:

Maksimum Imaginer:

Opsyen Pengiraan

Ketepatan:

Max Iterasi:

Tempat Perpuluhan:

Tunjukkan butiran pengiraan

Tunjukkan visualisasi

Kumpulkan pasangan konjugat

About Akar Kompleks

Akar kompleks adalah penyelesaian kepada persamaan yang merangkumi kedua-dua bahagian nyata dan imaginer dalam bentuk a + bi, di mana i adalah unit imaginer yang ditakrifkan sebagai i² = -1.

Teorem Asas Algebra

Setiap polinomial bukan tetap dengan koefisien kompleks mempunyai sekurang-kurangnya satu akar kompleks. Selain itu, polinomial dengan darjah n mempunyai tepat n akar apabila dikira dengan kelaziman mereka.

Kaedah untuk Mencari Akar Kompleks

Kaedah Analitikal: Untuk polinomial sehingga darjah 4, terdapat formula tepat (seperti formula kuadratik).
Kaedah Numerikal: Untuk polinomial darjah lebih tinggi dan persamaan transcendental, pendekatan numerikal termasuk:
- Kaedah Newton-Raphson dalam domain kompleks
- Kaedah Müller
- Kaedah Durand-Kerner (untuk polinomial)
- Kaedah Aberth-Ehrlich (untuk polinomial)

Ciri-ciri Akar Kompleks

Ciri Pasangan Konjugat: Jika polinomial mempunyai koefisien nyata dan a + bi adalah akar, maka a - bi juga merupakan akar.
Formula Vieta: Mengaitkan koefisien polinomial dengan jumlah dan hasil akar-akar mereka.
Kelaziman Akar: Sebuah akar boleh muncul beberapa kali, ditunjukkan oleh kelazimannya.

Aplikasi

Akar kompleks adalah penting dalam:

Sistem kawalan dan analisis kestabilan
Pemprosesan isyarat dan penapisan
Analisis litar elektrik
Mekanika kuantum
Dinamika bendalir dan aerodinamik

Memahami Kalkulator Akar Kompleks

Apa Itu Akar Kompleks?

Akar kompleks adalah penyelesaian kepada persamaan polinomial yang melibatkan nombor imajiner. Nombor imajiner muncul apabila menyelesaikan persamaan di mana akar kuadrat nombor negatif diperlukan. Sebagai contoh, akar bagi persamaan \( x^2 + 1 = 0 \) adalah \( \pm i \), di mana \( i \) adalah unit imajiner yang ditakrifkan sebagai \( \sqrt{-1} \).

Akar kompleks adalah konsep penting dalam matematik lanjutan dan kejuruteraan, kerana ia digunakan untuk menyelesaikan pelbagai masalah dalam bidang seperti pemprosesan isyarat, kejuruteraan elektrik, dan sistem kawalan.

Mengenai Kalkulator Akar Kompleks

Kalkulator Akar Kompleks ini membolehkan anda mencari semua akar (nyata dan kompleks) bagi persamaan polinomial yang diberikan. Ia menyediakan:

Pemasukan mudah bagi persamaan polinomial sama ada secara manual atau dengan memilih dari contoh yang telah ditetapkan.
Penjelasan langkah demi langkah mengenai proses yang digunakan untuk mencari akar.
Representasi grafik akar pada pelan kompleks.

Kalkulator ini menggunakan kaedah Newton-Raphson untuk mencari akar secara iteratif. Ia menyokong polinomial dari sebarang darjah dan memastikan hasil yang tepat untuk akar nyata dan imajiner.

Bagaimana Menggunakan Kalkulator

Pilih Contoh: Gunakan menu dropdown untuk memilih persamaan polinomial contoh. Sebagai alternatif, anda boleh memasukkan polinomial anda sendiri dalam medan input.
Masukkan Polinomial: Jika anda memilih untuk tidak menggunakan contoh, taip persamaan polinomial anda terus ke dalam medan input. Pastikan persamaan ditulis dalam bentuk standard (contohnya, \( x^3 - 2x^2 + 4x - 8 \)).
Klik Kira: Tekan butang "Kira" untuk mencari akar polinomial. Kalkulator akan memaparkan:
- Akar, termasuk bahagian nyata dan imajiner.
- Pengiraan langkah demi langkah.
- Sebuah graf yang menunjukkan akar yang dipetakan pada pelan kompleks.
Kosongkan Input: Gunakan butang "Kosongkan" untuk menetapkan semula medan input dan mula semula.

Ciri-ciri Kalkulator Akar Kompleks

Dropdown dengan Contoh: Teroka dengan cepat persamaan polinomial yang telah ditetapkan untuk memahami bagaimana akar dikira.
Pengiraan Masa Nyata: Pengiraan tepat bagi semua akar, walaupun untuk polinomial darjah lebih tinggi.
Representasi Visual: Graf interaktif yang menunjukkan akar pada pelan kompleks untuk pemahaman yang jelas.
Langkah Terperinci: Pecahan langkah demi langkah proses pengiraan untuk membantu pengguna belajar dan memahami.

Soalan Lazim (FAQ)

1. Apa itu Akar Kompleks?

Akar kompleks adalah penyelesaian kepada persamaan polinomial yang merangkumi kedua-dua komponen nyata dan imajiner. Sebagai contoh, \( 2 + 3i \) adalah akar kompleks, di mana \( i \) mewakili akar kuadrat -1.

2. Bolehkah kalkulator ini mengendalikan polinomial dari sebarang darjah?

Ya, kalkulator ini menyokong polinomial dari sebarang darjah. Walau bagaimanapun, polinomial darjah lebih tinggi mungkin mengambil masa lebih lama untuk dikira disebabkan oleh sifat iteratif kaedah Newton-Raphson.

3. Apa yang berlaku jika polinomial saya hanya mempunyai akar nyata?

Kalkulator ini berfungsi untuk semua jenis akar, termasuk akar nyata semata-mata. Dalam kes sedemikian, graf akan memplot semua akar pada paksi nyata.

4. Apa yang ditunjukkan oleh graf?

Graf menunjukkan akar polinomial pada pelan kompleks. Paksi x mewakili bahagian nyata akar, dan paksi y mewakili bahagian imajiner.

5. Seberapa tepat hasilnya?

Kalkulator ini menggunakan kaedah Newton-Raphson, yang memberikan hasil yang sangat tepat untuk polinomial yang berkelakuan baik. Akar dibundarkan kepada empat tempat perpuluhan untuk kejelasan.

Kesimpulan

Kalkulator Akar Kompleks adalah alat yang berkuasa untuk menyelesaikan persamaan polinomial dan memvisualisasikan akar mereka. Sama ada anda seorang pelajar, jurutera, atau penyelidik, alat ini memudahkan pengiraan akar kompleks dan menyediakan cara intuitif untuk belajar tentang persamaan polinomial.