Kalkulator SVD

Kategori: Algebra Linear
- 19 Disember 2025
| |

Kira Pemecahan Nilai Tunggal (SVD) bagi satu matriks. SVD memecahkan satu matriks kepada tiga komponen: U, Σ, dan V*. Pemecahan ini mempunyai banyak aplikasi dalam statistik, pemprosesan isyarat, pemampatan imej, dan banyak lagi.

Input Matriks

Opsyen Paparan

About Singular Value Decomposition

Pemecahan Nilai Tunggal (SVD) adalah teknik faktorisasi yang memecahkan satu matriks A kepada tiga matriks: U, Σ, dan V*. Ia mempunyai aplikasi yang luas dalam sains data, pemprosesan isyarat, dan algebra linear.

Definisi Matematik

Untuk matriks m×n A, SVD adalah:

A = UΣV*

di mana:

  • U adalah matriks ortogonal m×m (U*U = I)
  • Σ adalah matriks diagonal m×n dengan nilai tunggal yang tidak negatif
  • V* adalah transpose konjugat bagi matriks ortogonal n×n V (V*V = I)
Aplikasi SVD
  • Pengurangan Dimensi: Analisis Komponen Utama (PCA)
  • Pemampatan Imej: Mengurangkan penyimpanan sambil mengekalkan kualiti imej
  • Analisis Data: Pengurangan bunyi dan pengekstrakan ciri
  • Sistem Cadangan: Penapisan kolaboratif untuk cadangan
  • Pengiraan Pseudoinverse: Mencari penyelesaian kepada sistem yang tidak teratur
  • Pemprosesan Isyarat: Penapisan dan pengurangan bunyi
Properties of SVD
  • Nilai tunggal adalah unik dan disusun dalam urutan menurun
  • Bilangan nilai tunggal tidak sifar sama dengan pangkat matriks
  • Nombor keadaan adalah nisbah nilai tunggal terbesar kepada terkecil
  • SVD boleh digunakan untuk mengira pseudoinverse melalui A⁺ = VΣ⁺U*
  • SVD adalah stabil secara numerik untuk pengiraan

Formula Penguraian Nilai Tunggal:

A = UΣV*

Di mana:

  • U = matriks vektor tunggal kiri
  • Σ = matriks diagonal nilai tunggal
  • V* = transpos matriks vektor tunggal kanan

Apa Itu Kalkulator SVD?

Kalkulator Penguraian Nilai Tunggal (SVD) adalah alat berasaskan web yang memecahkan mana-mana matriks kepada tiga komponen asas: U, Σ (Sigma), dan V*. Proses ini digunakan secara meluas dalam algebra linear untuk aplikasi seperti pemampatan data, penapisan isyarat, dan penyelesaian sistem persamaan.

Dengan Kalkulator SVD, anda boleh menganalisis struktur matriks dengan cepat, memahami sifat dimensi, dan mengira nilai-nilai penting seperti nombor keadaan, pangkat, dan pseudoinverse.

Kenapa Menggunakan Kalkulator Ini?

Alat ini membantu anda:

  • Memecahkan matriks kepada U, Σ, dan V* untuk analisis yang lebih mendalam
  • Memahami tingkah laku matriks anda melalui nilai tunggalnya
  • Meneroka sifat seperti pangkat matriks, nombor keadaan, dan norma Frobenius
  • Mengesahkan ketepatan penguraian
  • Mengira pseudoinverse Moore-Penrose dengan segera

Jika anda bekerja dengan data imej, statistik, atau menyelesaikan sistem linear, kalkulator ini memberikan pecahan yang anda perlukan. Ia melengkapi alat lain seperti Kalkulator Penguraian LU, Kalkulator Pseudoinverse, dan Kalkulator Inverse Matriks dengan memberi tumpuan khusus kepada analisis nilai tunggal.

Bagaimana Menggunakan Kalkulator SVD

Ikuti langkah-langkah mudah ini:

  1. Pilih bilangan baris dan lajur untuk matriks anda.
  2. Klik “Buat Matriks” untuk menghasilkan medan input.
  3. Masukkan nilai matriks anda ke dalam medan.
  4. Pilih pilihan paparan seperti ketepatan perpuluhan dan sama ada untuk menunjukkan penjelasan langkah demi langkah.
  5. Klik “Kira SVD” untuk memproses matriks.
  6. Semak matriks U, Σ, dan V* yang dihasilkan, serta nilai yang diperoleh seperti pseudoinverse dan nombor keadaan.

Anda juga boleh memuatkan matriks contoh menggunakan butang “Muat Contoh” untuk melihat cara ia berfungsi dengan segera.

Manfaat Menggunakan SVD

SVD digunakan di pelbagai bidang dan mempunyai manfaat praktikal:

  • Pemampatan Data: Mengurangkan saiz data tanpa kehilangan ciri penting
  • Pengurangan Bunyi: Menghapuskan komponen kecil dalam isyarat atau set data
  • Pembelajaran Mesin: Meningkatkan prestasi algoritma melalui pengurangan dimensi
  • Penyelesaian Matriks: Mengira pseudoinverse apabila inverse normal tidak wujud
  • Pemprosesan Imej: Memampat dan membina semula imej dengan cekap

Alat ini sangat berguna apabila dipadankan dengan alat matriks seperti Kalkulator Faktor QR, Kalkulator Penghapusan Gauss-Jordan, dan Kalkulator Diagonal Matriks.

Soalan Lazim (FAQ)

  • Apakah saiz matriks yang boleh saya masukkan?
    Anda boleh memasukkan matriks dari 1×1 hingga 10×10.
  • Bagaimana jika matriks saya mempunyai nilai yang sangat kecil?
    Kalkulator menyoroti nilai hampir sifar untuk membantu anda memberi tumpuan kepada hasil yang signifikan.
  • Bolehkah saya melihat bagaimana SVD dikira?
    Ya! Aktifkan pilihan “Tunjukkan penjelasan” untuk melihat pecahan langkah demi langkah penguraian.
  • Adakah alat ini berguna untuk pembelajaran?
    Pasti. Pecahan visual dan langkah pengiraan menjadikannya alat pembelajaran yang hebat untuk pelajar dan pendidik.
  • Bagaimana ini berbeza dari alat matriks lain?
    Walaupun Kalkulator Inverse Matriks dan faktorisasi matriks LU memberi tumpuan kepada penyelesaian langsung untuk sistem linear, SVD menawarkan lebih banyak wawasan tentang struktur dan kestabilan matriks.

Alat Berkaitan yang Mungkin Anda Temui Berguna