Kalkulator Kebebasan Linear

Kategori: Algebra Linear
- 30 Jun 2025
| |

Tentukan sama ada satu set vektor adalah bebas linear atau bergantung. Kalkulator ini menggunakan pengurangan baris untuk menganalisis hubungan antara vektor dan memberikan langkah-langkah terperinci proses pengiraan.

Input Vektor

Opsyen Paparan

Mengenai Kebebasan Linear

Satu set vektor adalah bebas linear jika tiada vektor dalam set tersebut boleh ditulis sebagai gabungan linear vektor yang lain. Dalam erti kata lain, satu-satunya cara untuk menyatakan vektor sifar sebagai gabungan linear vektor adalah dengan menggunakan semua koefisien sifar.

Definisi Matematik

Satu set vektor {v₁, v₂, ..., vₙ} adalah bebas linear jika persamaan:

c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0

hanya mempunyai penyelesaian trivial c₁ = c₂ = ... = cₙ = 0.

Jika terdapat penyelesaian bukan trivial (dengan sekurang-kurangnya satu koefisien ≠ 0), maka vektor adalah bergantung linear.

Ujian untuk Kebebasan Linear
  1. Bentuk satu matriks di mana setiap lajur (atau baris) mewakili satu vektor
  2. Cari pangkat matriks ini menggunakan pengurangan baris
  3. Jika pangkat sama dengan bilangan vektor, mereka adalah bebas linear
  4. Jika pangkat kurang daripada bilangan vektor, mereka adalah bergantung linear
Ciri-ciri dan Aplikasi
  • Satu set n vektor dalam ruang n-dimensi adalah bebas linear jika dan hanya jika mereka membentuk satu asas untuk ruang tersebut
  • Kebebasan linear adalah penting dalam mencari asas untuk ruang vektor
  • Dalam mana-mana ruang vektor, satu set dengan lebih banyak vektor daripada dimensi ruang mesti bergantung linear
  • Aplikasi termasuk menyelesaikan sistem persamaan pembezaan, mekanik kuantum, dan pemprosesan isyarat
Hubungan dengan Span dan Asas
  • Span: Set semua gabungan linear vektor
  • Asas: Satu set bebas linear yang merentasi keseluruhan ruang vektor
  • Asas adalah set merentasi minimum atau set bebas linear maksimum
  • Mana-mana set bebas linear boleh diperluaskan kepada satu asas

Apa Itu Kalkulator Kebebasan Linear?

Kalkulator Kebebasan Linear membantu anda dengan cepat menentukan sama ada satu set vektor adalah bebas linear atau bergantung linear. Ia menggunakan pengurangan baris (juga dikenali sebagai penghapusan Gaussian) untuk memeriksa bagaimana vektor input anda berkaitan antara satu sama lain.

Alat ini sangat berguna dalam bidang seperti algebra linear, kejuruteraan, fizik, dan sains data. Ia menjimatkan masa, menawarkan pandangan langkah demi langkah, dan menghapuskan keperluan untuk melakukan operasi matriks yang membosankan secara manual.

Satu set vektor \( \{v_1, v_2, ..., v_n\} \) adalah bebas linear jika:

\( c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0 \)
hanya mempunyai penyelesaian trivial:
\( c_1 = c_2 = ... = c_n = 0 \)

Bagaimana Menggunakan Kalkulator

Untuk memeriksa kebebasan linear, ikuti langkah-langkah mudah ini:

  • Langkah 1: Masukkan bilangan vektor yang ingin anda analisis.
  • Langkah 2: Nyatakan dimensi setiap vektor (contohnya, 2D, 3D).
  • Langkah 3: Klik “Cipta Vektor” untuk menghasilkan medan input.
  • Langkah 4: Isi komponen setiap vektor.
  • Langkah 5: Klik “Periksa Kebebasan” untuk melihat hasilnya.

Tetapan paparan pilihan membolehkan anda menyesuaikan ketepatan perpuluhan, melihat langkah terperinci, dan menonjolkan entri sifar untuk kejelasan.

Apa yang Diberitahu oleh Kalkulator

Setelah anda menjalankan pengiraan, alat ini memaparkan:

  • Sama ada vektor adalah bebas linear atau bergantung
  • Matriks koefisien dan bentuk echelon barisnya
  • Pangkat matriks
  • Sama ada vektor meliputi ruang
  • Satu persamaan contoh yang menunjukkan bergantung linear jika berkenaan

Mengapa Kalkulator Ini Berguna

Alat ini ideal untuk pelajar, profesional, dan pendidik yang ingin mendapatkan pandangan yang cepat dan boleh dipercayai tentang struktur set vektor tanpa melakukan pengiraan manual. Ia adalah teman yang berguna bersama alat matematik lain seperti:

  • Kalkulator Pembezaan LU – untuk pemfaktoran matriks LU dan menyelesaikan sistem menggunakan penyelesai kaedah LU
  • Kalkulator Matriks Diagonal – berguna untuk mendiagonal matriks dan bekerja dengan nilai eigen
  • Kalkulator Invers Matriks – untuk mencari invers matriks dengan cekap
  • Kalkulator Penghapusan Gauss-Jordan – alat pengurangan baris untuk menyelesaikan sistem linear menggunakan bentuk echelon baris yang dikurangkan
  • Kalkulator Penjumlahan Vektor – untuk mengira jumlah vektor dan melakukan operasi vektor

Soalan Lazim (FAQ)

Apa maksudnya jika vektor adalah bergantung linear?

Ini bermakna sekurang-kurangnya satu vektor boleh ditulis sebagai gabungan vektor yang lain. Set ini tidak menambah arah atau dimensi baru kepada ruang.

Bagaimana kebebasan linear ditentukan?

Kalkulator membentuk matriks menggunakan vektor anda dan melakukan pengurangan baris. Jika pangkat matriks sama dengan bilangan vektor, mereka adalah bebas linear.

Apa itu pangkat dalam konteks ini?

Pangkat adalah bilangan baris (atau lajur) yang bebas linear dalam matriks. Ia membantu menentukan sama ada vektor anda meliputi ruang sepenuhnya atau tidak.

Bolehkah saya menggunakan ini untuk sebarang dimensi?

Ya, kalkulator ini berfungsi untuk vektor dengan sehingga 10 dimensi dan sehingga 10 vektor pada satu masa.

Adakah ini sama dengan kaedah Gauss-Jordan?

Kalkulator ini menggunakan pendekatan yang serupa yang dipanggil penghapusan Gaussian. Untuk pengurangan baris penuh, cuba Kalkulator Penghapusan Gauss-Jordan.

Kesimpulan

Sama ada anda menganalisis sistem persamaan, mengesahkan sama ada vektor meliputi ruang, atau mempelajari konsep algebra linear, Kalkulator Kebebasan Linear ini memberikan anda hasil yang jelas dengan usaha yang minimum. Ia melengkapi alat lain seperti Kalkulator Invers Matriks dan Kalkulator Pembezaan QR, membantu anda bekerja dengan lebih bijak dengan matriks dan vektor.