Kalkulator Ruang Null

Kategori: Algebra Linear
- Jun 01, 2025
| |

Hitung ruang null (kernel) bagi sebuah matriks. Kalkulator ini mencari vektor asas yang merentangi ruang null dan melakukan pengiraan berkaitan termasuk pangkat, nulliti, dan pengurangan baris.

Input Matriks

Masukkan Nilai Matriks:

Pilihan Paparan

About Ruang Null

Ruang null (atau kernel) bagi sebuah matriks adalah konsep asas dalam algebra linear. Ia mewakili set semua vektor yang, apabila didarab dengan matriks, menghasilkan vektor sifar. Memahami ruang null membantu menyelesaikan sistem persamaan linear homogen dan memberikan pandangan tentang struktur transformasi linear.

Bagaimana untuk Menemukan Ruang Null

Untuk mencari asas bagi ruang null matriks A:

  1. Tukarkan matriks kepada bentuk echelon baris tereduksi (RREF)
  2. Kenal pasti pembolehubah bebas (ruang tanpa 1 utama)
  3. Nyatakan pembolehubah asas dalam terma pembolehubah bebas
  4. Tuliskan penyelesaian umum sebagai gabungan linear vektor
  5. Ambil vektor pekali untuk membentuk asas bagi ruang null
Aplikasi

Ruang null mempunyai aplikasi penting dalam:

  • Menyelesaikan sistem persamaan linear homogen
  • Menentukan sama ada transformasi linear adalah satu-ke-satu (injektif)
  • Mencari penyelesaian umum untuk sistem tidak homogen
  • Menganalisis persamaan pembezaan dan rangkaian litar
  • Mengira eigenspaces dalam teori spektrum
  • Pemprosesan imej dan isyarat (dalam mencari maklumat penting)

Apa Itu Kalkulator Ruang Null?

Kalkulator Ruang Null adalah alat dalam talian interaktif yang membantu anda mencari ruang null bagi sebuah matriks. Ruang null, juga dikenali sebagai kernel, adalah set semua penyelesaian \( \mathbf{x} \) kepada persamaan \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \), di mana \( A \) adalah matriks dan \( \mathbf{0} \) adalah vektor sifar.

Formula:

\[ \text{Ker}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \} \]

Apa Yang Boleh Dilakukan Oleh Kalkulator Ini

  • Mencari asas bagi ruang null (kernel) sebuah matriks
  • Mengira rank dan nullity matriks
  • Memaparkan kedua-dua Bentuk Echelon Baris (REF) dan Bentuk Echelon Baris Tereduksi (RREF)
  • Menunjukkan pengiraan langkah demi langkah (pilihan)
  • Menerima input matriks tersuai atau membolehkan anda menggunakan matriks contoh

Bagaimana Menggunakan Kalkulator Ruang Null

  1. Tetapkan bilangan baris dan lajur matriks anda.
  2. Masukkan nilai ke dalam medan matriks.
  3. Pilihan: Gunakan matriks contoh untuk demo cepat.
  4. Pilih pilihan paparan anda: perpuluhan atau pecahan, berapa banyak tempat perpuluhan, dan sama ada untuk menunjukkan langkah.
  5. Klik butang Hitung.
  6. Lihat keputusan anda, termasuk vektor asas, rank, nullity, REF, RREF, dan banyak lagi.

Mengapa Ruang Null Penting

Memahami ruang null bagi sebuah matriks adalah penting untuk bekerja dengan persamaan linear. Ia membantu anda:

  • Menyelesaikan sistem persamaan linear homogen
  • Memahami sama ada transformasi matriks adalah satu-ke-satu
  • Mencari penyelesaian umum kepada persamaan matriks
  • Menganalisis kebebasan linear dan ruang vektor

Aplikasi dalam Algebra Linear

Ruang null bukan sekadar konsep akademik — ia digunakan dalam banyak pengiraan dan bidang yang lebih maju:

  • Sistem linear: sering digunakan dengan Kalkulator Penghapusan Gauss-Jordan
  • Transformasi: berkaitan dengan alat seperti Kalkulator Matriks Diagonal dan Kalkulator Faktorisasi QR
  • Operasi matriks: melengkapi alat seperti Kalkulator Invers Matriks, Kalkulator Pendaraban Matriks, dan Kalkulator Penolakan Matriks
  • Pemprosesan isyarat dan imej, sistem kawalan, analisis data

Konsep dan Hubungan Utama

  • Rank: Bilangan lajur pivot dalam matriks (baris bukan sifar dalam RREF)
  • Nullity: Dimensi ruang null (bilangan pembolehubah bebas)
  • Teorem Rank-Nullity:

\[ \text{Rank}(A) + \text{Nullity}(A) = \text{Bilangan lajur dalam } A \]

Soalan Lazim (FAQ)

Apa itu asas bagi ruang null?

Asas adalah set vektor yang merentangi ruang null. Setiap penyelesaian kepada \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) boleh ditulis sebagai gabungan linear vektor-vetor ini.

Bagaimana jika ruang null adalah trivial?

Jika satu-satunya penyelesaian kepada \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) adalah vektor sifar, ruang null dikatakan trivial. Ini bermakna matriks tersebut mempunyai rank penuh.

Adakah ini berkaitan dengan mencari invers matriks?

Ya. Jika sebuah matriks persegi mempunyai ruang null yang trivial, ia bermakna ia boleh dibalikkan. Anda boleh menggunakan Kalkulator Invers Matriks untuk meneroka ini lebih lanjut.

Apa itu pembolehubah pivot dan bebas?

Pembolehubah pivot sepadan dengan lajur yang mempunyai satu utama dalam RREF. Pembolehubah bebas adalah mereka yang boleh mengambil sebarang nilai — mereka menentukan arah ruang null.

Bolehkah saya menggunakan ini untuk matriks bukan persegi?

Sudah tentu. Alat ini berfungsi untuk mana-mana matriks m × n di mana m dan n berada dalam julat 1 hingga 10.

Jelajahi Alat Matriks Lain

Kalkulator ini adalah sebahagian daripada set alat algebra linear yang lebih luas. Cuba ini seterusnya:

  • Kalkulator Pembezaan LU — Memecahkan matriks menggunakan faktorisasi matriks LU
  • Kalkulator Eksponen Matriks — Mengira eksponen bagi sebuah matriks
  • Kalkulator Penambahan Vektor — Menambah vektor dengan cepat dan tepat
  • Kalkulator Transpose Matriks — Membalikkan baris dan lajur matriks anda
  • Kalkulator Pseudoinvers — Mencari pseudoinvers Moore-Penrose

Ringkasan

Kalkulator Ruang Null memudahkan pemahaman dan penerokaan sifat asas matriks. Sama ada anda sedang belajar untuk peperiksaan atau menyelesaikan masalah sebenar dalam kejuruteraan atau sains, alat ini membantu memecahkan langkah-langkah dan memvisualisasikan keputusan anda dengan jelas. Cuba ia bersama penyelesai matriks lain seperti Kalkulator Pembahagian Matriks atau Kalkulator Faktorisasi QR untuk memperluas alat anda.