Kalkulator Ruang Lajur

Kategori: Algebra Linear
- 02 Ogos 2025
| |

Hitung ruang lajur bagi matriks, yang merupakan jangkauan vektor lajur. Kalkulator ini menyediakan asas ruang lajur dan sifat-sifat berkaitan.

Masukkan nilai matriks anda di bawah, dan kalkulator akan mencari ruang lajur menggunakan penghapusan Gaussian untuk menentukan lajur yang bebas secara linear.

Input Matriks

Konsep Algebra Linear

Ruang lajur adalah konsep asas dalam algebra linear yang membantu kita memahami tingkah laku transformasi linear dan sistem persamaan linear.

Mencari Ruang Lajur

Untuk mencari asas bagi ruang lajur matriks A:

  1. Transformasikan matriks ke dalam bentuk echelon baris yang diperkecil (RREF)
  2. Kenal pasti lajur pivot dalam matriks asal (lajur yang mengandungi 1 utama dalam RREF)
  3. Lajur pivot ini dari matriks asal membentuk asas bagi ruang lajur
Teorem Pangkat-Nulliti

Untuk mana-mana matriks m × n A:

rank(A) + nullity(A) = n

Di mana:

  • rank(A) = dimensi ruang lajur = dimensi ruang baris
  • nullity(A) = dimensi ruang null (kernel)
  • n = bilangan lajur dalam A
Aplikasi

Analisis ruang lajur digunakan dalam:

  • Menentukan kebolehan penyelesaian sistem linear
  • Pemampatan data dan pemprosesan imej
  • Algoritma pembelajaran mesin
  • Pemprosesan isyarat
  • Simulasi kejuruteraan

Formula Ruang Lajur:

Col(A) = Span{a₁, a₂, ..., aₙ}

Di mana a₁, a₂, ..., aₙ adalah lajur-lajur matriks A

Apa Itu Kalkulator Ruang Lajur?

Kalkulator Ruang Lajur adalah alat dalam talian yang berguna untuk sesiapa sahaja yang bekerja dengan matriks dalam algebra linear. Ia membantu mengenal pasti ruang lajur bagi sebuah matriks — set semua gabungan linear bagi lajur-lajurnya. Ini memberitahu kita bagaimana matriks mengubah data dan sama ada persamaan tertentu mempunyai penyelesaian.

Dengan memasukkan nilai matriks anda, kalkulator secara automatik melakukan pengurangan baris untuk mengenal pasti vektor asas ruang lajur. Asas ini mendedahkan struktur matriks dan berapa banyak dimensi yang diliputinya.

Bagaimana Menggunakan Kalkulator

  • Mulakan dengan memilih bilangan baris dan lajur untuk matriks anda (sehingga 10×10).
  • Klik “Buat Matriks” untuk menghasilkan medan input.
  • Isi nilai matriks anda secara manual atau gunakan butang yang disediakan untuk menghasilkan matriks rawak atau matriks identiti.
  • Sesuaikan pilihan paparan untuk menunjukkan langkah pengiraan, RREF, atau menggunakan nilai pecahan.
  • Klik “Kira Ruang Lajur” untuk mendapatkan keputusan.

Ciri-ciri dan Keputusan

  • Asas Ruang Lajur: Memaparkan set vektor yang bebas linear yang meliputi ruang lajur.
  • Dimensi: Menunjukkan berapa banyak vektor yang meliputi ruang lajur.
  • Pangkat dan Nulliti: Berguna untuk memahami struktur matriks, termasuk pandangan dari Teorem Pangkat-Nulliti.
  • Bentuk Echelon Baris yang Dikurangkan (RREF): Membantu memvisualisasikan kedudukan pivot dan kebergantungan linear.
  • Penerangan Langkah demi Langkah: Membimbing anda melalui setiap langkah proses pengurangan baris.

Kenapa Ia Berguna

Kalkulator ini adalah alat pembelajaran yang hebat untuk pelajar, pendidik, dan profesional yang perlu:

  • Menganalisis sistem linear dan menentukan sama ada mereka mempunyai penyelesaian.
  • Memahami span dan kebebasan lajur matriks.
  • Mengenal pasti pangkat dan nulliti matriks untuk bukti matematik atau pemodelan dunia nyata.

Ia juga berguna apabila menggunakan alat berkaitan seperti Kalkulator Penghapusan Gauss-Jordan untuk menyelesaikan sistem, Kalkulator Pangkat Matriks untuk menilai dimensi, dan Kalkulator Ruang Null untuk mencari kernel matriks.

Konsep dan Alat Berkaitan

Jika anda bekerja dengan masalah matriks, alat-alat ini mungkin juga berguna:

Soalan Lazim

Apa itu ruang lajur bagi sebuah matriks?

Ruang lajur adalah set semua vektor yang boleh dibentuk dengan mengambil gabungan linear bagi lajur-lajur matriks. Ia menunjukkan di mana matriks memetakan vektor input dalam transformasinya.

Bagaimana saya boleh mencari asas bagi ruang lajur?

Dengan mengubah matriks kepada bentuk echelon baris yang dikurangkan dan mengenal pasti lajur pivot. Ini sepadan dengan lajur yang bebas linear dalam matriks asal.

Apa yang diberitahu pangkat matriks kepada saya?

Pangkat adalah bilangan lajur yang bebas linear — ia sama dengan dimensi ruang lajur.

Bagaimana jika matriks saya tiada pangkat?

Jika pangkat adalah sifar, semua lajur adalah bergantung linear atau sifar. Ruang lajur hanya mengandungi vektor sifar.

Adakah alat ini boleh membantu dengan kerja rumah atau peperiksaan?

Ya, ia sangat berguna untuk memeriksa jawapan, mempelajari langkah-langkah transformasi matriks, dan memahami bagaimana algebra linear berfungsi dalam praktik.

Kesimpulan

Kalkulator Ruang Lajur adalah sumber praktikal untuk memvisualisasikan dan memahami struktur matriks. Sama ada anda menyelesaikan sistem linear atau meneroka ruang vektor, alat ini memudahkan pemahaman konsep penting dalam algebra linear.