Kalkulator Pseudoinverse

Kategori: Algebra Linear
- 25 Julai 2025
| |

Kalkulator ini mengira pseudoinverse Moore-Penrose bagi sebuah matriks. Pseudoinverse adalah generalisasi bagi matriks terbalik dan wujud untuk mana-mana matriks, termasuk yang bukan segi empat sama. Ia sangat berguna untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil dan mencari penyelesaian norma minimum.

Input Matriks

Opsyen Paparan

Memahami Pseudoinverse

Pseudoinverse Moore-Penrose adalah generalisasi bagi matriks terbalik yang wujud untuk mana-mana matriks, termasuk matriks segi empat (bukan segi empat sama) dan singular. Ia menyediakan cara untuk menyelesaikan sistem linear apabila terbalik standard tidak wujud.

Ciri-ciri Pseudoinverse

Untuk sebuah matriks A dengan pseudoinverse A+:

  • A · A+ · A = A
  • A+ · A · A+ = A+
  • (A · A+)T = A · A+
  • (A+ · A)T = A+ · A
Aplikasi
  • Penyelesaian Kuadrat Terkecil: Untuk sistem yang berlebihan Ax = b (lebih banyak persamaan daripada pembolehubah), x = A+b memberikan penyelesaian yang meminimumkan ||Ax - b||2
  • Penyelesaian Norma Minimum: Untuk sistem yang kurang ditentukan (lebih banyak pembolehubah daripada persamaan), x = A+b memberikan penyelesaian dengan norma terkecil ||x||2
  • Pemprosesan Imej: Digunakan dalam pembinaan dan pemampatan imej
  • Pembelajaran Mesin: Digunakan dalam algoritma seperti Analisis Komponen Utama (PCA)
  • Pemprosesan Isyarat: Diterapkan dalam reka bentuk penapis dan pemulihan isyarat
Kaedah Pengiraan

Pseudoinverse boleh dikira menggunakan beberapa kaedah:

  1. Pembahagian Nilai Singular (SVD): A = UΣVT, kemudian A+ = VΣ+UT
  2. Persamaan Normal: Untuk pangkat lajur penuh, A+ = (ATA)-1AT
  3. Pembahagian QR: Berguna untuk sistem yang berlebihan
  4. Kaedah Iteratif: Untuk matriks yang sangat besar

Kalkulator ini menggunakan kaedah SVD, yang paling boleh dipercayai dan berfungsi untuk mana-mana matriks.

Apa itu Pseudoinverse?

Pseudoinverse, atau pseudoinverse Moore-Penrose, adalah generalisasi dari invers matriks yang berlaku untuk matriks segi empat atau tidak persegi. Sementara invers biasa hanya ditakrifkan untuk matriks persegi, pseudoinverse membolehkan kita mengira penyelesaian untuk sistem persamaan linear, walaupun sistem tersebut berlebihan (lebih banyak persamaan daripada pembolehubah) atau kekurangan (lebih banyak pembolehubah daripada persamaan).

Pseudoinverse mempunyai banyak aplikasi, termasuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil, algoritma pembelajaran mesin, dan pemprosesan isyarat. Ia diwakili sebagai \( A^+ \), di mana \( A \) adalah matriks asal.

Mengenai Kalkulator Pseudoinverse

Kalkulator Pseudoinverse ini adalah alat interaktif yang mengira pseudoinverse Moore-Penrose bagi matriks yang diberikan. Kalkulator ini menyokong kedua-dua matriks persegi dan segi empat. Selain itu, ia memberikan penjelasan langkah demi langkah tentang proses pengiraan, menjadikannya alat pembelajaran yang hebat.

Ciri-ciri Utama

  • Menangani sebarang saiz matriks: Menyokong kedua-dua matriks persegi dan segi empat.
  • Penjelasan langkah demi langkah: Memecahkan setiap peringkat pengiraan pseudoinverse, termasuk transposisi matriks, pendaraban, dan inversi.
  • Input yang boleh disesuaikan: Pengguna boleh menentukan dimensi dan nilai matriks untuk memenuhi masalah khusus mereka.

Bagaimana Menggunakan Kalkulator

Ikuti langkah-langkah ini untuk mengira pseudoinverse bagi matriks:

  1. Pilih bilangan baris dan lajur untuk matriks anda menggunakan menu dropdown.
  2. Masukkan nilai matriks dalam medan input. Medan tersebut telah diisi untuk kemudahan.
  3. Klik butang "Kira" untuk mengira pseudoinverse. Langkah-langkah dan hasil akhir akan muncul di bawah.
  4. Untuk menetapkan semula kalkulator, klik butang "Kosongkan Semua".

Manfaat Kalkulator

  • Hasil yang tepat: Mengira pseudoinverse secara automatik menggunakan kaedah numerik yang boleh dipercayai.
  • Pendidikan: Memberikan langkah-langkah terperinci untuk membantu pengguna belajar dan memahami pengiraan pseudoinverse.
  • Menjimatkan masa: Menghapuskan keperluan untuk pengiraan manual, terutamanya untuk matriks besar.

Soalan Lazim

Apa perbezaan antara invers biasa dan pseudoinverse?

Invers biasa wujud hanya untuk matriks persegi yang tidak singular, di mana determinan tidak sama dengan sifar. Pseudoinverse, sebaliknya, boleh dikira untuk matriks segi empat atau singular dan sangat berguna dalam menyelesaikan sistem persamaan linear di mana invers biasa tidak wujud.

Bolehkah saya mengira pseudoinverse bagi matriks segi empat?

Ya, kalkulator menyokong matriks segi empat. Pseudoinverse dikira menggunakan formula \( A^+ = (A^T A)^{-1} A^T \) untuk matriks tinggi atau \( A^+ = A^T (A A^T)^{-1} \) untuk matriks lebar.

Apa yang berlaku jika matriks saya adalah singular atau tidak boleh dibalikkan?

Jika matriks \( A^T A \) atau \( A A^T \) adalah singular (iaitu, tidak boleh dibalikkan), kalkulator akan memaparkan mesej ralat, kerana pseudoinverse tidak boleh dikira dalam kes tersebut.

Bolehkah kalkulator menangani input perpuluhan atau pecahan?

Ya, kalkulator menerima kedua-dua input perpuluhan dan pecahan, memastikan pengiraan yang tepat untuk semua jenis data.

Mulakan Menggunakan Kalkulator Pseudoinverse

Sama ada anda menyelesaikan persamaan linear, menganalisis data, atau belajar tentang operasi matriks, kalkulator ini adalah alat yang kuat dan mesra pengguna. Cubalah sekarang untuk mengira pseudoinverse dengan mudah dan tepat!