Kalkulator Peringkat Matriks

- 28 April 2025
| |

Kira pangkat matriks menggunakan teknik pengurangan baris. Pangkat matriks adalah dimensi ruang vektor yang dihasilkan oleh baris atau lajur, yang sama dengan bilangan baris atau lajur yang bebas secara linear.

Input Matriks

Opsyen Paparan

About Matrix Rank

Pangkat matriks adalah konsep asas dalam algebra linear yang menunjukkan bilangan baris atau lajur yang bebas secara linear dalam matriks. Ia adalah ukuran "dimensi" maklumat yang terkandung dalam matriks.

Definisi Matematik

Pangkat matriks A boleh ditakrifkan dalam beberapa cara yang setara:

  • Bilangan maksimum baris yang bebas secara linear dalam A
  • Bilangan maksimum lajur yang bebas secara linear dalam A
  • Dimensi ruang baris A
  • Dimensi ruang lajur A
  • Perintah minor bukan sifar terbesar dalam A
  • Bilangan nilai singular bukan sifar A
Mencari Pangkat

Pangkat boleh dikira menggunakan pengurangan baris (eliminasi Gaussian) untuk mengubah matriks menjadi bentuk echelon baris. Bilangan baris bukan sifar dalam bentuk echelon yang dihasilkan sama dengan pangkat matriks.

Ciri-ciri Pangkat
  • Ketaksamaan Pangkat: Untuk matriks m×n, pangkat r memenuhi r ≤ min(m,n)
  • Pangkat Penuh: Matriks mempunyai pangkat penuh jika r = min(m,n)
  • Teorem Pangkat-Nulliti: Untuk matriks m×n, pangkat + nulliti = n, di mana nulliti adalah dimensi ruang null
  • Kebolehinversian: Matriks persegi adalah boleh invers jika dan hanya jika pangkatnya sama dengan perintahnya
  • Pangkat Hasil Pendaraban: Untuk mana-mana matriks A dan B yang boleh didarab, pangkat(AB) ≤ min(pangkat(A), pangkat(B))
Aplikasi Pangkat Matriks
  • Sistem Persamaan Linear: Menentukan sama ada sistem mempunyai penyelesaian unik, penyelesaian yang tidak terhingga, atau tiada penyelesaian
  • Kebebasan Linear: Memeriksa sama ada vektor adalah bebas secara linear
  • Pemprosesan Imej: Pendekatan pangkat rendah matriks untuk pemampatan data
  • Teori Kawalan: Menentukan kebolehkawalan dan kebolehpantauan sistem
  • Data Sains: Pengurangan dimensi dan pengekstrakan ciri

Apa Itu Kalkulator Peringkat Matriks?

Kalkulator Peringkat Matriks adalah alat praktikal yang menentukan peringkat mana-mana matriks numerik yang anda masukkan. Peringkat mencerminkan berapa banyak baris atau lajur yang bebas secara linear yang terdapat dalam matriks. Konsep ini adalah penting dalam algebra linear dan membantu mengenal pasti dimensi ruang baris atau lajur matriks.

Sama ada anda menyelesaikan sistem persamaan, bekerja dengan transformasi data, atau menyederhanakan matriks, mengetahui peringkat memberikan kejelasan tentang struktur dan batasan matriks.

Formula Peringkat Matriks:
\[ \text{Rank}(A) = \text{bilangan baris bukan sifar dalam bentuk echelon baris } A \]

Bagaimana Menggunakan Kalkulator Peringkat Matriks

Ikuti langkah-langkah mudah ini untuk mencari peringkat matriks anda:

  • Masukkan bilangan baris dan lajur untuk matriks anda.
  • Klik Cipta Matriks untuk menghasilkan grid input.
  • Isi setiap sel dengan nilai matriks anda.
  • Pilih ketepatan perpuluhan dan pilihan paparan.
  • Klik Hitung Peringkat untuk melihat hasil dengan segera.
  • Secara pilihan, aktifkan “Tunjukkan langkah pengiraan” untuk memahami proses pengurangan baris.

Anda juga boleh mencuba butang Muatturun Contoh untuk meneroka bagaimana kalkulator berfungsi dengan matriks yang telah ditetapkan.

Kenapa Peringkat Matriks Penting

Peringkat matriks memberitahu anda berapa banyak maklumat unik yang terdapat dalam matriks. Ini boleh digunakan dalam pelbagai bidang seperti sains komputer, kejuruteraan, fizik, ekonomi, dan statistik. Berikut adalah sebab mengapa ia berguna:

  • Menyelesaikan Sistem Linear: Menentukan jika penyelesaian unik wujud.
  • Sains Data: Membantu dalam mengurangkan dimensi data sambil mengekalkan struktur.
  • Pemprosesan Isyarat: Membantu dalam mengenal pasti isyarat yang berlebihan atau boleh dimampatkan.
  • Penyederhanaan Matriks: Membantu dalam mengenali sifat matriks seperti kebolehinversan.

Ciri-ciri Kalkulator Ini

  • Menangani matriks sehingga saiz 10×10.
  • Menyediakan penjelasan pengurangan baris langkah demi langkah.
  • Menyorot elemen sifar untuk visualisasi yang lebih baik.
  • Memaparkan sifat matriks penting seperti determinan, nulliti, dan sama ada ia penuh peringkat.

Alat Matriks Berkaitan yang Mungkin Anda Temui Berguna

Jika anda meneroka operasi matriks lebih lanjut, pertimbangkan untuk mencuba alat ini juga:

  • Kalkulator Pengekstrakan LU – Memecahkan matriks menggunakan pemfaktoran matriks LU dan mengikuti langkah-langkah dekomposisi LU.
  • Kalkulator Invers Matriks – Cepat mencari invers matriks menggunakan panduan invers matriks ini.
  • Kalkulator Penghapusan Gauss-Jordan – Melakukan pengurangan baris penuh kepada bentuk echelon baris yang dikurangkan dengan alat pengurangan baris ini.
  • Kalkulator Pseudoinvers – Mengira pseudoinvers Moore-Penrose untuk matriks bukan persegi.
  • Kalkulator Diagonal Matriks – Berguna untuk mendiagonal matriks dan bekerja dengan nilai eigen dan diagonalization.

Soalan Lazim

Apa itu peringkat matriks?

Peringkat adalah bilangan baris atau lajur yang bebas secara linear dalam matriks. Ia menunjukkan berapa banyak matriks terdiri daripada maklumat unik.

Apa maksudnya jika matriks mempunyai peringkat penuh?

Sebuah matriks mempunyai peringkat penuh jika peringkatnya sama dengan yang lebih kecil daripada bilangan baris atau lajur. Untuk matriks persegi, ini bermakna ia mungkin boleh diinvers.

Bolehkah saya mengira peringkat matriks bukan persegi?

Ya. Kalkulator menyokong mana-mana saiz matriks dari 1×1 hingga 10×10, termasuk matriks segi empat tepat.

Kaedah apa yang digunakan oleh kalkulator?

Kalkulator menggunakan penghapusan Gaussian untuk menukar matriks kepada bentuk echelon baris dan mengira bilangan baris bukan sifar.

Adakah alat ini tepat?

Ya, ia menggunakan perpustakaan matematik yang boleh dipercayai untuk operasi matriks, dan anda boleh memilih tahap ketepatan perpuluhan.

Pemikiran Akhir

Kalkulator Peringkat Matriks adalah alat yang mudah tetapi berkuasa untuk pelajar, pendidik, dan profesional. Ia menjadikan konsep algebra linear lebih mudah difahami dan diterapkan dalam amalan. Sama ada anda memeriksa jika matriks anda boleh diinvers, meneroka nulliti, atau bersiap sedia untuk operasi lanjut seperti invers matriks, pemfaktoran LU, atau dekomposisi QR, kalkulator ini menawarkan titik permulaan yang boleh dipercayai.