Kalkulator Penghapusan Gaussian

Kategori: Algebra Linear

- 03 Januari 2026

| |

Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan penghapusan Gaussian (juga dikenali sebagai pengurangan baris). Kalkulator ini menunjukkan penyelesaian langkah demi langkah untuk membantu memahami proses mendapatkan bentuk echelon baris dan bentuk echelon baris tereduksi.

Dimensi Matriks

Bilangan Persamaan/Baris:

Bilangan Pemboleh Ubah/Lajur:

Matriks Augmented [A|b]

Papar keputusan sebagai pecahan

Tunjukkan penyelesaian langkah demi langkah

Kaedah Penyelesaian:

Contoh Pantas:

Memahami Penghapusan Gaussian

Penghapusan Gaussian adalah kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menukar matriks augmented sistem kepada bentuk echelon baris. Apabila diteruskan kepada bentuk echelon baris tereduksi, ia menjadi penghapusan Gauss-Jordan.

Operasi Baris Asas

Operasi ini mengekalkan penyelesaian sistem:

Tukar: Menukar kedudukan dua baris
Skala: Mendarab satu baris dengan pemalar bukan sifar
Ganti: Menambah gandaan satu baris kepada baris lain

Bentuk Echelon Baris (REF)

Sebuah matriks berada dalam bentuk echelon baris apabila:

Semua baris yang terdiri sepenuhnya daripada sifar berada di bahagian bawah
Entri utama (elemen bukan sifar pertama) setiap baris bukan sifar berada di sebelah kanan entri utama baris di atasnya
Entri utama dalam setiap baris bukan sifar adalah 1

Bentuk Echelon Baris Tereduksi (RREF)

Sebuah matriks berada dalam bentuk echelon baris tereduksi apabila:

Ia berada dalam bentuk echelon baris
Setiap 1 utama adalah satu-satunya entri bukan sifar dalam lajurnya

Jenis Penyelesaian

Penyelesaian Unik: Sistem mempunyai tepat satu penyelesaian
Tak Terhingga Banyak Penyelesaian: Sistem mempunyai persamaan bergantung dengan pemboleh ubah bebas
Tiada Penyelesaian: Sistem tidak konsisten (mengandungi persamaan bercanggah)

Untuk tujuan pendidikan. Kalkulator ini membantu memvisualisasikan proses penghapusan Gaussian tetapi mungkin mempunyai batasan dengan sistem yang sangat besar atau sistem dengan ketidakstabilan numerik. Untuk aplikasi kritikal, perisian matematik khusus harus digunakan.

Apakah Itu Kalkulator Penghapusan Gaussian?

Kalkulator Penghapusan Gaussian adalah alat interaktif yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Ia mempermudahkan matriks kepada sama ada Bentuk Eselon Baris (REF) atau Bentuk Eselon Baris Tereduksi (RREF), membantu pengguna mengenal pasti penyelesaian unik, penyelesaian tak terhingga, atau menentukan jika sistem tidak mempunyai penyelesaian. Proses ini, yang dikenali sebagai penghapusan Gaussian, adalah salah satu teknik teras dalam algebra linear.

$$Ax = b \Rightarrow [A|b] \xrightarrow{\text{Row Operations}} \text{REF or RREF}$$

Cara Menggunakan Kalkulator

Alat ini mesra pengguna dan direka untuk pelbagai golongan, termasuk pelajar, guru, dan sesiapa sahaja yang bekerja dengan sistem linear. Berikut adalah cara menggunakannya dengan berkesan:

Pilih saiz matriks: Pilih bilangan persamaan (baris) dan pemboleh ubah (lajur).
Masukkan matriks tambahan: Masukkan pekali persamaan dan pemalar di sebelah kanan.
Pilih keutamaan anda: Pilih untuk memaparkan hasil sebagai pecahan dan menunjukkan penyelesaian langkah demi langkah.
Pilih kaedah: Pilih sama ada Bentuk Eselon Baris (REF) atau Bentuk Eselon Baris Tereduksi (RREF).
Klik "Selesaikan Sistem": Lihat penyelesaian lengkap, transformasi langkah demi langkah, dan hasil akhir.

Mengapa Menggunakan Penghapusan Gaussian?

Penghapusan Gaussian membantu menyelesaikan sistem persamaan secara sistematik dan digunakan secara meluas dalam bidang seperti kejuruteraan, fizik, ekonomi, dan sains komputer. Dengan mengubah matriks menggunakan operasi baris asas, kaedah ini mendedahkan wawasan penting tentang penyelesaian:

Penyelesaian Unik: Apabila sistem mempunyai satu penyelesaian yang sah.
Penyelesaian Tak Terhingga: Apabila sistem mempunyai persamaan yang bergantung.
Tiada Penyelesaian: Apabila sistem tidak konsisten.

Ciri-Ciri Berguna

Kalkulator ini merangkumi beberapa alat untuk membantu pembelajaran dan analisis:

Paparan penyelesaian langkah demi langkah untuk tujuan pembelajaran.
Keluaran hasil dalam bentuk pecahan untuk nilai yang lebih tepat.
Sistem contoh yang telah dimuatkan (mudah, bergantung, dan tidak konsisten).
Penukaran pantas antara format REF dan RREF.

Alat dan Konsep Berkaitan

Jika anda bekerja dengan matriks dan algebra linear, anda mungkin juga mendapati alat ini berguna:

Kalkulator Penguraian LU: Memecahkan matriks kepada matriks bawah dan atas menggunakan pemfaktoran matriks LU.
Kalkulator Songsangan Matriks: Membantu mencari songsangan matriks dengan panduan langkah demi langkah.
Kalkulator Penghapusan Gauss-Jordan: Variasi penghapusan Gaussian yang menyederhanakan terus kepada RREF.
Kalkulator Diagonalisasi Matriks: Mendiagonalisasi matriks dengan mencari nilai eigen dan mengubah matriks.
Kalkulator Pseudo Songsangan: Mengira pseudo songsangan Moore-Penrose untuk matriks tidak segi empat sama atau singular.

Soalan Lazim (FAQ)

Apakah perbezaan antara REF dan RREF?

REF (Bentuk Eselon Baris) menyederhanakan matriks di mana entri utama bergerak ke kanan dalam setiap baris. RREF (Bentuk Eselon Baris Tereduksi) melangkah lebih jauh dengan menjadikan setiap 1 utama sebagai satu-satunya nilai bukan sifar dalam lajurnya.

Jenis sistem apakah yang boleh diselesaikan oleh kalkulator ini?

Ia boleh menyelesaikan sistem dengan sehingga 6 persamaan dan 6 pemboleh ubah, sama ada konsisten atau tidak konsisten, bergantung atau bebas.

Bolehkah saya memasukkan pecahan atau ungkapan?

Ya. Anda boleh memasukkan nilai seperti 1/2 atau 2+3, dan alat ini akan menilainya secara automatik.

Apa yang berlaku jika tiada penyelesaian?

Kalkulator akan mengesan ketidakkonsistenan dan dengan jelas menunjukkan bahawa sistem tidak mempunyai penyelesaian, bersama dengan alasan.

Bagaimana ini berbeza daripada kaedah LU?

Kaedah LU menguraikan matriks kepada matriks bawah dan atas, yang kemudian boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem atau songsangan matriks. Walaupun penghapusan Gaussian mengubah matriks secara langsung, penguraian LU menyimpan langkah transformasi untuk kegunaan semula—berguna untuk menyelesaikan pelbagai sistem dengan matriks pekali yang sama.

Bagaimana Kalkulator Ini Membantu

Kalkulator ini menjimatkan masa dan mengurangkan kesilapan semasa bekerja melalui operasi baris matriks. Ia juga membantu pengguna memahami setiap langkah transformasi melalui panduan visual dan menyokong pembelajaran pendidikan dengan memperkukuh konsep algebra. Sama ada anda meneroka proses Gauss-Jordan, menggunakan penyelesai kaedah LU, atau memerlukan alat penghapusan matriks, kalkulator ini menyokong pelbagai keperluan pembelajaran dan penyelesaian masalah.