Kalkulator Pembezaan QR

- 28 April 2025
| |

Hitung dekomposisi QR bagi sebuah matriks, di mana A = QR dengan Q menjadi matriks ortogonal dan R menjadi matriks segitiga atas.

Kalkulator ini menggunakan proses Gram-Schmidt untuk mencari faktorisasi QR bagi mana-mana matriks dengan lajur yang bebas secara linear.

Input Matriks

Memahami Dekomposisi QR

Dekomposisi QR adalah kaedah pemfaktoran matriks yang asas dalam algebra linear yang memecahkan matriks kepada matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R.

Proses Gram-Schmidt

Dekomposisi QR biasanya dikira menggunakan proses Gram-Schmidt, yang mengikuti langkah-langkah berikut:

  1. Mulakan dengan matriks A dengan lajur a1, a2, ..., an
  2. Kira asas ortogonal u1, u2, ..., un dari lajur-lajur A
  3. Normalisasikan vektor-vektor ini untuk mencipta vektor ortonormal q1, q2, ..., qn
  4. Matriks Q terdiri daripada lajur ortonormal ini: Q = [q1 q2 ... qn]
  5. Matriks R mengandungi unjuran lajur asal ke atas asas ortonormal
Definisi Matematik

Untuk matriks m×n A dengan lajur yang bebas secara linear:

  • Q adalah matriks m×n dengan lajur ortonormal
  • R adalah matriks segitiga atas n×n dengan elemen diagonal positif
  • A = QR

Ortogonaliti Q bermakna QTQ = I (matriks identiti).

Ciri-ciri Utama
  • Jika A mempunyai lajur yang bebas secara linear, dekomposisi QR-nya adalah unik
  • Untuk matriks persegi A dengan pangkat penuh, Q adalah ortogonal (QT = Q-1)
  • Dekomposisi QR adalah stabil secara numerik berbanding dengan beberapa pemfaktoran matriks yang lain
  • Mengira dekomposisi QR secara amnya lebih cekap daripada mengira terbalik matriks
Formula Penguraian QR:
A = Q × R
Di mana:
- A adalah matriks asal
- Q adalah matriks ortogonal (QTQ = I)
- R adalah matriks segitiga atas

Apa Itu Kalkulator Penguraian QR?

Kalkulator Penguraian QR membantu anda memecahkan matriks kepada dua komponen tertentu: matriks ortogonal (Q) dan matriks segitiga atas (R). Proses ini berguna dalam banyak bidang algebra linear, terutamanya ketika menyelesaikan sistem persamaan atau melakukan analisis regresi.

Alat ini menggunakan proses Gram-Schmidt untuk melakukan pengiraan. Ia tepat, cepat, dan melakukan semua kerja berat untuk anda, bahkan memaparkan penjelasan langkah demi langkah yang pilihan. Sama ada anda sedang belajar atau bekerja dengan data sebenar, kalkulator ini menawarkan jalan yang jelas untuk pengfaktoran matriks QR.

Kenapa Menggunakan Penguraian QR?

Penguraian QR adalah teknik pengfaktoran matriks yang banyak digunakan dalam analisis numerik dan algebra linear. Ia sangat membantu untuk:

  • Menyelesaikan sistem linear dengan cekap
  • Menangani masalah kuadrat terkecil
  • Mengira nilai eigen sebagai sebahagian daripada proses transformasi matriks
  • Memudahkan matriks untuk bekerja dalam analisis data atau pembelajaran mesin

Bagaimana Menggunakan Kalkulator

Menggunakan Kalkulator Penguraian QR adalah mudah:

  1. Masukkan bilangan baris dan lajur untuk matriks anda.
  2. Klik “Buat Matriks” untuk menghasilkan medan input.
  3. Isi nilai matriks anda secara manual atau gunakan pilihan “Matriks Rawak” atau “Matriks Identiti”.
  4. Pilih pilihan paparan anda, seperti ketepatan perpuluhan atau menunjukkan pecahan.
  5. Klik “Kira Penguraian QR” untuk mendapatkan hasilnya.

Kalkulator akan menunjukkan:

  • Matriks asal (A)
  • Matriks ortogonal (Q)
  • Matriks segitiga atas (R)
  • Pengesahan bahawa A = QR
  • Pengesahan bahawa Q adalah ortogonal (QTQ = I)
  • Pecahan proses langkah demi langkah yang pilihan

Di Mana Lagi QR Digunakan?

Kalkulator ini adalah sebahagian daripada set alat matriks yang lebih luas yang sering digunakan bersama dalam kajian dan aplikasi algebra linear:

  • Kalkulator Penguraian LU: Memecahkan matriks kepada matriks segitiga bawah dan atas.
  • Kalkulator Invers Matriks: Mencari invers matriks persegi.
  • Kalkulator Penghapusan Gauss-Jordan: Menyelesaikan sistem linear menggunakan pengurangan baris.
  • Kalkulator Diagonalize Matriks: Mengubah matriks menggunakan nilai eigen untuk penyederhanaan.
  • Kalkulator Pseudoinvers: Menangani matriks tidak persegi atau singular menggunakan kaedah Moore-Penrose.

Soalan Lazim

Apa kegunaan Penguraian QR?

Ia menyederhanakan persamaan matriks dan adalah penting untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, melakukan penyesuaian data, dan dalam pengiraan nilai eigen.

Jenis matriks apa yang boleh diuraikan?

Mana-mana matriks dengan lajur yang bebas secara linear boleh diuraikan menggunakan alat ini. Bilangan baris mesti lebih besar atau sama dengan bilangan lajur.

Adakah proses ini tepat?

Ya. Kalkulator mengesahkan kedua-dua hasil A = QR dan ortogonaliti Q menggunakan pendaraban matriks, memastikan ketepatan numerik.

Adakah saya perlu memahami matematik di sebaliknya?

Tidak. Alat ini memberikan kedua-dua hasil dan penjelasan langkah demi langkah yang pilihan jika anda ingin belajar lebih lanjut.

Bolehkah saya melihat langkah-langkah pertengahan?

Ya, hanya semak kotak yang bertanda “Tunjukkan langkah pengiraan” sebelum mengira. Ini sangat baik untuk belajar atau mengesahkan kerja anda sendiri.

Kesimpulan

Kalkulator Penguraian QR adalah cara yang berguna dan mesra pengguna untuk menganalisis dan memecahkan matriks untuk aplikasi matematik, akademik, atau praktikal. Sama ada anda meneroka kaedah penguraian matriks atau memerlukan alat pengfaktoran QR yang cepat, kalkulator ini memberikan anda hasil yang boleh dipercayai dengan usaha yang minimum.

Ia melengkapi alat matriks yang kuat lain seperti alat pengfaktoran matriks LU, alat invers matriks, penyelesai matriks pseudoinvers, dan alat diagonalization matriks — memberikan anda satu set sumber lengkap untuk bekerja dengan sistem linear dan operasi matriks yang maju.