Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen

- 28 April 2025
| |

Kira nilai eigen dan vektor eigen bagi matriks persegi. Nilai eigen dan vektor eigen mempunyai aplikasi penting dalam transformasi linear, persamaan pembezaan, mekanik kuantum, dan banyak bidang lain dalam matematik dan fizik.

Input Matriks

Pilihan Paparan

About Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai eigen dan vektor eigen adalah konsep asas dalam algebra linear. Vektor eigen bagi matriks persegi A adalah vektor bukan sifar v yang, apabila didarab dengan A, menghasilkan gandaan skalar dirinya sendiri. Skalar ini dipanggil nilai eigen.

Definisi Matematik

Bagi matriks persegi A, vektor bukan sifar v adalah vektor eigen jika:

Av = λv

di mana λ adalah nilai eigen yang berkaitan dengan vektor eigen v.

Mencari Nilai Eigen dan Vektor Eigen
  1. Nilai Eigen: Selesaikan persamaan ciri det(A - λI) = 0
  2. Vektor Eigen: Bagi setiap nilai eigen λ, selesaikan sistem homogen (A - λI)v = 0
Aplikasi Nilai Eigen dan Vektor Eigen
  • Persamaan Pembezaan: Menyelesaikan sistem persamaan pembezaan linear
  • Analisis Komponen Utama: Pengurangan dimensi dalam statistik dan sains data
  • Mekanika Kuantum: Menggambarkan observables fizikal dan keadaan kuantum
  • Kejuruteraan: Analisis getaran, kestabilan struktur, dan sistem kawalan
  • Diagonalization Matriks: Memudahkan operasi matriks melalui transformasi
  • Teori Graf: Analisis spektral rangkaian dan kebolehubungan
Ciri-ciri
  • Penentu matriks sama dengan hasil darab nilai eigennya
  • Jejak matriks sama dengan jumlah nilai eigennya
  • Sebuah matriks adalah diagonalizable jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen bebas linear untuk matriks n×n
  • Matriks simetri sentiasa mempunyai nilai eigen nyata dan vektor eigen ortogonal
  • Matriks yang serupa berkongsi nilai eigen yang sama

Apa Itu Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen?

Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen adalah alat yang kuat yang direka untuk mengira nilai eigen dan vektor eigen bagi mana-mana matriks persegi. Jenis pengiraan ini biasanya digunakan dalam bidang seperti kejuruteraan, fizik, sains data, dan algebra linear untuk memahami transformasi, menyelesaikan sistem persamaan, dan melakukan analisis matriks.

Persamaan Nilai Eigen:

Av = λv

Di mana:

  • A adalah matriks persegi
  • v adalah vektor eigen
  • λ (lambda) adalah nilai eigen

Bagaimana Menggunakan Kalkulator

Ikuti langkah-langkah ini untuk mengira nilai eigen dan vektor eigen bagi sebuah matriks:

  • Pilih saiz matriks (dari 2×2 hingga 6×6).
  • Klik "Buat Matriks" untuk menghasilkan medan input.
  • Masukkan nilai untuk matriks anda.
  • Secara pilihan, sesuaikan tetapan paparan seperti ketepatan perpuluhan atau menunjukkan langkah-langkah.
  • Klik "Kira Nilai Eigen & Vektor Eigen."

Selepas pengiraan, alat ini memaparkan:

  • Matriks asal
  • Semua nilai eigen dan vektor eigen yang sepadan
  • Polinomial ciri
  • Ciri-ciri matriks seperti determinan dan jejak
  • Pengesahan keputusan (Av = λv)
  • Langkah-langkah diagonalization jika berkenaan

Kenapa Kalkulator Ini Berguna

Nilai eigen dan vektor eigen membantu menyederhanakan sistem linear yang kompleks dan mendedahkan sifat penting tentang matriks. Kalkulator ini sangat berguna untuk:

  • Pelajar: Belajar dan mengesahkan diagonalization matriks, normalisasi, dan analisis eigen
  • Penyelidik: Mengira data spektrum dengan cepat tanpa pengiraan manual
  • Jurutera & Saintis Data: Menggunakan dalam analisis getaran, PCA, kajian kestabilan, dan banyak lagi

Alat ini juga melengkapi kalkulator matriks lain, termasuk:

Ciri Utama

  • Menyokong matriks dari 2×2 hingga 6×6
  • Menangani nilai eigen nyata dan kompleks
  • Normalisasi vektor eigen
  • Paparan langkah demi langkah pengiraan
  • Pengesahan diagonalization dengan matriks P, D, dan P⁻¹

Soalan Lazim (FAQ)

Apa itu nilai eigen dan vektor eigen digunakan untuk?

Ia digunakan dalam banyak bidang seperti persamaan pembezaan, mekanik kuantum, pembelajaran mesin (PCA), dan analisis struktur.

Apa itu polinomial ciri?

Polinomial ciri diperoleh daripada matriks dan digunakan untuk mencari nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan det(A - λI) = 0.

Adakah kalkulator ini boleh mengendalikan nombor kompleks?

Ya. Ia boleh memaparkan dan mengira dengan nilai eigen kompleks jika diaktifkan dalam pilihan.

Apa maksud diagonalization?

Diagonalization menulis semula matriks dalam bentuk A = PDP⁻¹, yang menyederhanakan operasi matriks. Kalkulator memeriksa sama ada matriks boleh didiagonalize.

Adakah ini membantu dengan operasi matriks lain?

Ya, ini melengkapi alat seperti alat pendaraban matriks, kalkulator pembahagian matriks, alat transpos matriks, dan kalkulator jejak matriks untuk aliran kerja algebra linear yang lebih luas.

Ringkasan

Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen menyederhanakan analisis matriks dan menyokong pembelajaran serta penyelesaian masalah dalam algebra linear. Sama ada anda meneroka nilai eigen dan diagonalization, menggunakan teknik pemecahan matriks LU, atau membandingkan output dengan alat invers matriks, kalkulator ini menawarkan cara yang jelas, efisien, dan pendidikan untuk bekerja dengan matriks.