Kalkulator Jejak Matriks

- 15 Mei 2025
| |

Kira jejak bagi matriks persegi. Jejak bagi matriks adalah jumlah semua elemen pada diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah).

Dimensi Matriks

Input Matriks

Pilihan Paparan

About Matrix Trace

Jejak bagi matriks persegi A, dilambangkan tr(A), adalah jumlah semua elemen pada diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah).

Definisi

Bagi matriks n × n A = [aij], jejak ditakrifkan sebagai:

tr(A) = a11 + a22 + ... + ann = Σi=1n aii

Ciri-ciri Jejak Matriks
  • Lineariti: tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
  • Penggandaan skalar: tr(cA) = c·tr(A), di mana c adalah skalar
  • Invarian di bawah transposisi: tr(A) = tr(AT)
  • Invarian di bawah transformasi kesamaan: tr(P-1AP) = tr(A)
  • Ciri jejak berganda: tr(AB) = tr(BA)
Aplikasi Jejak Matriks
  • Mengira jumlah nilai eigen bagi matriks
  • Menentukan norma matriks (contohnya, norma Frobenius)
  • Mekanika kuantum (jejak matriks ketumpatan sama dengan 1)
  • Statistik (jejak matriks kovarians sama dengan varians keseluruhan)
  • Pembelajaran mesin dan pengoptimuman (regularisasi norma jejak)

Memahami Jejak Matriks

Jejak matriks adalah konsep asas dalam algebra linear. Ia ditakrifkan sebagai jumlah elemen pada diagonal utama matriks persegi. Secara matematik, jika \( A \) adalah matriks persegi bersaiz \( n \), jejaknya diberikan oleh:

\[ \text{Jejak}(A) = \sum_{i=1}^{n} A[i,i] \]

Diagonal utama matriks merangkumi elemen di mana indeks baris dan lajur adalah sama. Sebagai contoh, dalam matriks \( 3 \times 3 \) berikut:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 0 & 3 & 5 \\ 7 & 8 & 6 \end{bmatrix} \]

Jejak dikira sebagai:

\[ \text{Jejak}(A) = A[1,1] + A[2,2] + A[3,3] = 2 + 3 + 6 = 11 \]

Mengenai Kalkulator Jejak Matriks

Kalkulator Jejak Matriks adalah alat yang mudah tetapi berkuasa yang direka untuk mengira jejak matriks persegi dengan cekap. Ia menyediakan penjelasan terperinci, langkah demi langkah mengenai proses pengiraan, menjadikannya sumber yang sangat baik untuk pembelajaran dan penyelesaian masalah algebra linear.

Ciri-Ciri Utama

  • Saiz Matriks Boleh Disesuaikan: Pilih dari matriks 2 × 2, 3 × 3, atau 4 × 4.
  • Input Interaktif: Masukkan nilai matriks terus ke dalam kalkulator.
  • Pengiraan Langkah demi Langkah: Menunjukkan bagaimana setiap elemen diagonal menyumbang kepada jejak akhir.
  • Integrasi MathJax: Hasil dan pengiraan dipaparkan dalam format LaTeX yang bersih dan profesional.
  • Antaramuka Mesra Pengguna: Direka untuk menjadi intuitif dan boleh diakses untuk pengguna dari semua tahap kemahiran.

Bagaimana Menggunakan Kalkulator Jejak Matriks

  1. Pilih saiz matriks persegi anda menggunakan menu dropdown.
  2. Masukkan nilai matriks anda ke dalam medan input. Setiap medan sepadan dengan elemen dalam matriks.
  3. Klik butang "Kira Jejak" untuk mengira jejak.
  4. Semak hasil:
    • Matriks asal \( A \).
    • Nilai jejak yang dikira.
    • Pecahan langkah demi langkah yang menunjukkan bagaimana setiap elemen diagonal menyumbang kepada jejak.
  5. Untuk menetapkan semula kalkulator dan memulakan pengiraan baru, klik butang "Kosongkan Semua".

Aplikasi Praktikal Jejak

Jejak matriks digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang, termasuk:

  • Algebra Linear: Memudahkan ungkapan yang melibatkan matriks dan memahami sifat-sifatnya.
  • Pembelajaran Mesin: Mengoptimumkan algoritma seperti Analisis Komponen Utama (PCA).
  • Mekanika Kuantum: Menganalisis pengendali dan sifat-sifatnya.
  • Ekonomi: Mewakili dan menganalisis sistem linear dalam model input-output.

Soalan Lazim

Apa itu jejak matriks?

Jejak matriks adalah jumlah elemen diagonalnya. Ia hanya ditakrifkan untuk matriks persegi.

Adakah kalkulator ini boleh mengendalikan matriks bukan persegi?

Tidak. Jejak hanya ditakrifkan untuk matriks persegi, jadi kalkulator akan memaparkan ralat jika matriks tidak persegi.

Apa yang berlaku jika saya membiarkan medan kosong atau memasukkan nombor yang tidak sah?

Kalkulator akan memaparkan mesej ralat jika mana-mana medan mengandungi nilai yang tidak sah atau hilang. Pastikan semua medan diisi dengan nombor yang sah sebelum mengira.

Bolehkah saya menggunakan kalkulator ini untuk matriks besar?

Kalkulator menyokong matriks sehingga 4 × 4 untuk kemudahan penggunaan dan kebolehbacaaan. Untuk matriks yang lebih besar, pertimbangkan untuk menggunakan bahasa pengaturcaraan seperti Python atau MATLAB.

Mulakan Mengira Jejak Matriks Anda

Sama ada anda menyelesaikan masalah matematik, belajar algebra linear, atau bekerja pada aplikasi dalam pembelajaran mesin, Kalkulator Jejak Matriks adalah teman yang boleh dipercayai. Penjelasan yang jelas dan antaramuka interaktifnya menjadikannya sempurna untuk pelajar, penyelidik, dan profesional.