Kalkulator Gram-Schmidt

Kategori: Algebra Linear
- 16 Ogos 2025
| |

Proses Gram-Schmidt adalah kaedah untuk mengorthogonalkan satu set vektor dalam ruang hasil darab dalam. Kalkulator ini menukar sebarang set vektor bebas linear kepada asas orthogonal atau ortonormal.

Input Vektor

Pilih dimensi vektor anda
Pilih bilangan vektor untuk diorthogonalkan

Pilihan Pengiraan

Pilih sama ada untuk menormalkan vektor output
Bulatkan hasil kepada bilangan tempat perpuluhan ini

Tetapan Lanjutan

Pilih jenis hasil darab dalam untuk digunakan

Tentang Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt adalah kaedah untuk menukar satu set vektor bebas linear kepada satu set vektor orthogonal atau ortonormal. Set orthogonal atau ortonormal ini merangkumi subruang yang sama seperti set vektor asal.

Algoritma

Untuk satu set vektor bebas linear \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n \), proses Gram-Schmidt membina satu set orthogonal \( \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n \) seperti berikut:

\begin{align} \mathbf{u}_1 &= \mathbf{v}_1 \\ \mathbf{u}_2 &= \mathbf{v}_2 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) \\ \mathbf{u}_3 &= \mathbf{v}_3 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_3) - \text{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{v}_3) \\ \vdots \\ \mathbf{u}_k &= \mathbf{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \text{proj}_{\mathbf{u}_j}(\mathbf{v}_k) \end{align}

di mana \( \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}{\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle} \mathbf{u} \) adalah unjuran \( \mathbf{v} \) ke atas \( \mathbf{u} \).

Untuk mendapatkan asas ortonormal, setiap vektor \( \mathbf{u}_i \) dinormalkan dengan membahagikan dengan panjangnya: \( \mathbf{e}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{|\mathbf{u}_i|} \).

Aplikasi
  • Algebra Linear: Mencipta asas orthogonal untuk ruang vektor
  • Analisis Berangka: Faktorisasi QR matriks
  • Statistik: Mengorthogonalkan peramal dalam analisis regresi
  • Fizik: Mencari mod normal ayunan
  • Pemprosesan Isyarat: Mencipta fungsi asas orthogonal
  • Mekanika Kuantum: Membina keadaan asas ortonormal
Sifat Vektor Orthogonal
  • Hasil Darab Dalam: Untuk vektor orthogonal \( \mathbf{u} \) dan \( \mathbf{v} \), \( \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 0 \)
  • Kebebasan Linear: Vektor orthogonal bukan sifar secara automatik bebas linear
  • Teorem Pythagoras: \( |\mathbf{u} + \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 \) untuk vektor orthogonal
  • Representasi: Sebarang vektor dalam julat boleh dengan mudah diwakili sebagai gabungan linear

Penafian: Kalkulator ini menyediakan pelaksanaan proses Gram-Schmidt untuk tujuan pendidikan. Untuk dimensi yang sangat besar atau vektor yang kurang stabil, kestabilan berangka mungkin terjejas. Dalam aplikasi profesional, pertimbangkan untuk menggunakan perpustakaan berangka khusus. Proses Gram-Schmidt mungkin menghasilkan keputusan yang tidak tepat dengan vektor yang hampir bebas linear kerana had aritmetik titik terapung.

Formula Ortogonalisasi Gram-Schmidt:

Diberikan satu set vektor bebas linear \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n \), set ortogonal \( \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n \) dibina seperti berikut:

\[ \begin{align*} \mathbf{u}_1 &= \mathbf{v}_1 \\ \mathbf{u}_2 &= \mathbf{v}_2 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) \\ \mathbf{u}_3 &= \mathbf{v}_3 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_3) - \text{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{v}_3) \\ \vdots \\ \mathbf{u}_k &= \mathbf{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \text{proj}_{\mathbf{u}_j}(\mathbf{v}_k) \end{align*} \]

dengan unjuran ditakrifkan sebagai: \[ \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}{\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle} \mathbf{u} \]

Apakah Kalkulator Gram-Schmidt?

Kalkulator Gram-Schmidt ialah alat interaktif yang membantu anda menukar satu set vektor bebas linear kepada asas ortogonal atau ortonormal. Ini berguna untuk mempermudah operasi vektor yang kompleks dan bekerja dengan cekap dalam ruang dimensi tinggi.

Alat ini menyokong kedua-dua hasil darab titik standard dan hasil darab dalaman berbobot, memberikan fleksibiliti untuk pelbagai konteks matematik atau kejuruteraan.

Mengapa Menggunakan Alat Ini?

Kalkulator ini sangat berguna apabila anda ingin:

  • Mencipta asas ortogonal atau ortonormal untuk ruang vektor
  • Memahami penguraian QR, satu proses asas dalam algebra linear dan analisis berangka
  • Mengesahkan ortogonaliti vektor dengan cepat
  • Mengaplikasikan unjuran vektor dalam fizik, analisis data, atau pembelajaran mesin

Ia melengkapi alat lain seperti Kalkulator Penguraian QR, Kalkulator Songsangan Matriks, dan Kalkulator Unjuran Vektor dengan menyediakan data dalam format ortogonal yang terstruktur.

Bagaimana Menggunakan Kalkulator

Ikuti langkah-langkah ini untuk melaksanakan proses Gram-Schmidt:

  1. Pilih dimensi vektor anda (contohnya, 2D, 3D, dsb.).
  2. Pilih berapa banyak vektor yang ingin anda sertakan (sehingga 5).
  3. Masukkan komponen setiap vektor. Nilai lalai disediakan untuk ujian pantas.
  4. Pilih Ortogonal atau Ortonormal sebagai jenis output.
  5. Pilihan: laraskan ketepatan perpuluhan atau pilih hasil darab titik berbobot jika diperlukan.
  6. Klik "Kira Gram-Schmidt" untuk melihat hasilnya, termasuk:
    • Vektor yang diortogonalkan
    • Pecahan langkah demi langkah
    • Perwakilan matriks
    • Semakan ortogonaliti
    • Petua aplikasi

Siapa yang Mendapat Manfaat?

Alat ini sesuai untuk:

  • Pelajar yang mempelajari kebebasan linear, ruang vektor, atau penguraian matriks
  • Jurutera dan saintis yang bekerja pada simulasi, pemprosesan isyarat, atau analisis struktur
  • Penganalisis data yang menggunakan transformasi matriks dalam aliran kerja pembelajaran mesin
  • Sesiapa yang menggunakan alat seperti Kalkulator Penguraian LU atau Kalkulator Penambahan Vektor untuk mengendalikan vektor atau matriks

Soalan Lazim (FAQ)

Apa maksud "ortogonal"?

Vektor ortogonal berada pada sudut tepat antara satu sama lain. Hasil darab dalaman mereka adalah sifar, yang mempermudah banyak pengiraan.

Apakah perbezaan antara ortogonal dan ortonormal?

Vektor ortonormal adalah ortogonal dan setiap satunya mempunyai panjang 1. Ia biasanya digunakan untuk mentakrifkan sistem koordinat dan mempermudah unjuran.

Mengapa kalkulator memerlukan vektor bebas linear?

Jika vektor anda tidak bebas linear, proses Gram-Schmidt tidak dapat menghasilkan asas yang sah kerana beberapa vektor boleh ditulis sebagai gabungan vektor lain.

Apakah kegunaan hasil darab dalaman berbobot?

Hasil darab dalaman berbobot digunakan apabila dimensi yang berbeza mempunyai kepentingan atau skala yang berbeza—biasa dalam fizik atau matematik gunaan.

Bagaimana ini berkaitan dengan penguraian QR?

Output kalkulator ini membentuk matriks "Q" dalam proses penguraian QR, yang sering digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Alat Berkaitan yang Berguna

Terokai alat matriks dan vektor lain yang melengkapi pengiraan Gram-Schmidt:

Ringkasan

Kalkulator Gram-Schmidt menawarkan cara yang jelas dan praktikal untuk menukar vektor bebas linear kepada set ortogonal atau ortonormal. Ia membantu dalam pembelajaran, pengajaran, dan penerapan transformasi ruang vektor. Sama ada anda menganalisis data, menyelesaikan persamaan, atau menyediakan matriks untuk penguraian lanjut, alat ini menambah ketepatan dan kejelasan pada kerja anda.