Kalkulator Eksponen Matriks

Kategori: Algebra Linear

- 12 Ogos 2025

| |

Hitung eksponen e^A bagi matriks persegi A. Eksponen matriks ditakrifkan oleh siri kuasa: e^A = I + A + A²/2! + A³/3! + ...

Dimensi Matriks

Saiz Matriks:

Matriks Input

Opsyen Pengiraan

Bilangan Terma:

Nilai yang lebih tinggi memberikan hasil yang lebih tepat tetapi mengambil masa lebih lama untuk dikira.

Pengganda Skalar (t):

Hitung e^tA di mana t adalah nilai ini.

Opsyen Paparan

Tempat Perpuluhan:

Tunjukkan langkah pengiraan

About Matrix Exponential

Eksponen matriks e^A bagi matriks persegi A adalah operasi asas dalam algebra linear dengan aplikasi dalam menyelesaikan sistem persamaan pembezaan, teori kawalan, mekanik kuantum, dan banyak bidang lain.

Definisi dan Harta

Eksponen matriks ditakrifkan oleh siri tak terhingga:

e^A = I + A + A²/2! + A³/3! + A⁴/4! + ...

Di mana I adalah matriks identiti dengan saiz yang sama seperti A.

Harta utama eksponen matriks termasuk:

e⁰ = I (Matriks identiti)
e^A+B = e^Ae^B jika dan hanya jika AB = BA
e^A sentiasa boleh dibalikkan, dan (e^A)^-1 = e^-A
Jika A boleh didiagonal, sebagai A = PDP^-1, maka e^A = Pe^DP^-1
det(e^A) = e^tr(A)

Kaedah Pengiraan

Beberapa kaedah wujud untuk mengira eksponen matriks:

Kaedah Siri Kuasa: Pengiraan langsung menggunakan definisi siri tak terhingga
Kaedah Nilai Eigen: Untuk matriks yang boleh didiagonal, menggunakan A = PDP^-1 untuk mengira e^A = Pe^DP^-1
Penghampiran Padé: Penghampiran rasional yang sering konvergen lebih cepat daripada siri kuasa
Penskalaan dan Pengkuadratan: Memanfaatkan harta bahawa e^A = (e^A/m)^m

Pengira ini menggunakan kaedah siri kuasa dengan bilangan terma yang ditentukan.

Aplikasi

Eksponen matriks digunakan dalam:

Menyelesaikan sistem persamaan pembezaan linear
Theori kawalan dan analisis sistem
Mekanika kuantum (pengendali evolusi unitari)
Proses Markov masa berterusan
Analisis rangkaian (contohnya, ukuran pusat)
Teori kumpulan Lie

Memahami Kalkulator Eksponen Matriks

Apa itu Eksponen Matriks?

Eksponen matriks, yang dilambangkan sebagai \( e^A \), adalah fungsi matematik yang digunakan dalam pelbagai bidang seperti persamaan pembezaan, mekanik kuantum, dan teori kawalan. Ia memperluas konsep fungsi eksponen kepada matriks persegi, menawarkan penyelesaian kepada sistem persamaan pembezaan linear dan aplikasi dalam simulasi pengiraan.

Bagaimana Kalkulator Ini Berfungsi?

Alat ini mengira eksponen bagi matriks persegi menggunakan pengembangan siri Taylor. Dengan mengambil matriks \( A \), kalkulator menilai \( e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \dots \), di mana \( I \) adalah matriks identiti, dan kuasa berturut-turut bagi \( A \) dibahagikan dengan faktorial yang sepadan. Siri ini menumpu untuk memberikan representasi yang tepat bagi eksponen matriks.

Kenapa Menggunakan Kalkulator Eksponen Matriks?

Menyelesaikan eksponen bagi matriks dengan cepat tanpa pengiraan manual.
Menyokong matriks peringkat tinggi (2×2, 3×3, 4×4).
Menyediakan pengiraan langkah demi langkah untuk meningkatkan pemahaman.
Bermanfaat untuk menyelesaikan sistem persamaan pembezaan linear dengan cekap.

Bagaimana Menggunakan Kalkulator Eksponen Matriks

Pilih saiz matriks (2×2, 3×3, atau 4×4).
Masukkan elemen-elemen matriks anda dalam grid yang disediakan.
Klik butang Hitung Eksponen untuk mengira hasilnya.
Semak hasil dan pengiraan langkah demi langkah yang dipaparkan di bawah.
Untuk memulakan semula, klik butang Kosongkan Semua.

Ciri Utama Kalkulator

Pengiraan langkah demi langkah untuk ketelusan.
Menangani matriks identiti sebagai lalai untuk kesederhanaan.
Reka bentuk responsif untuk digunakan pada desktop dan peranti mudah alih.
Memaparkan hasil menggunakan MathJax untuk representasi matematik yang jelas.

Soalan Lazim

Apa kegunaan eksponen matriks?: Eksponen matriks sering digunakan untuk menyelesaikan sistem linear persamaan pembezaan, menganalisis kestabilan dalam sistem kawalan, dan memodelkan sistem dinamik.
Apa batasan kalkulator ini?: Alat ini mengira eksponen matriks menggunakan anggaran siri Taylor sehingga 10 terma, yang mungkin memperkenalkan ketidaktepatan kecil untuk matriks tertentu dengan entri besar.
Adakah kalkulator ini boleh mengendalikan matriks bukan persegi?: Tidak, eksponen matriks hanya ditakrifkan untuk matriks persegi. Pastikan matriks input anda mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama.
Apa saiz matriks maksimum yang disokong?: Kalkulator ini menyokong matriks sehingga saiz 4×4. Matriks yang lebih besar mungkin memerlukan alat pengiraan yang lebih maju.

Kesimpulan

Kalkulator Eksponen Matriks adalah alat yang berkuasa untuk sesiapa sahaja yang berurusan dengan masalah matematik lanjutan yang melibatkan matriks persegi. Sama ada anda menyelesaikan persamaan pembezaan, memodelkan sistem kompleks, atau meneroka konsep algebra linear, kalkulator ini memudahkan proses, memberikan hasil dan wawasan ke dalam langkah-langkah pengiraan.