Kalkulator Interpolasi

- 11 Jun 2025
| |

Kira nilai yang tidak diketahui antara titik data yang diketahui menggunakan pelbagai kaedah interpolasi. Kalkulator ini menyokong teknik interpolasi linear, polinomial, spline kubik, dan jiran terdekat.

Input Data

Masukkan satu pasangan x,y setiap baris, dipisahkan dengan koma.
Fail harus mengandungi pasangan x,y, satu pasangan setiap baris.
Pratonton Fail:
Tiada fail dipilih
Gunakan x sebagai pemboleh ubah. Operator yang disokong: +, -, *, /, ^. Fungsi: sin(), cos(), tan(), log(), sqrt()

Tetapan Interpolasi

Masukkan nilai x di mana anda ingin mencari nilai y yang diinterpolasi.

Pilihan Visualisasi

Bilangan titik yang digunakan semasa melukis lengkung interpolasi.

Pilihan Lanjutan

+

Memahami Interpolasi

Interpolasi adalah kaedah untuk menganggarkan nilai yang tidak diketahui yang berada di antara titik data yang diketahui. Ia digunakan secara meluas dalam kejuruteraan, sains, matematik, dan grafik komputer untuk membina titik data baru dalam julat set titik data yang diketahui.

Kaedah Interpolasi

Kalkulator ini menyokong beberapa teknik interpolasi:

Interpolasi Linear

Interpolasi linear menghubungkan titik data bersebelahan dengan garis lurus. Ia adalah kaedah paling mudah dan menganggap hubungan linear antara titik bersebelahan.

f(x) = y₁ + (x - x₁) × (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

di mana (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) adalah dua titik data terdekat ke x.

Interpolasi Polinomial

Interpolasi polinomial memadankan satu polinomial melalui semua titik data. Ia memberikan lengkung yang licin tetapi mungkin menunjukkan ayunan (fenomena Runge) dengan polinomial darjah tinggi.

Menggunakan polinomial Lagrange atau perbezaan terbahagi Newton untuk mencipta polinomial darjah n-1 untuk n titik data.

Interpolasi Spline Kubik

Interpolasi spline kubik memadankan polinomial kubik secara berpotongan antara titik data, memastikan kesinambungan dalam derivatif pertama dan kedua. Ini menghasilkan lengkung yang licin dengan ayunan minimum.

Mencipta satu siri polinomial kubik S₁(x), S₂(x), ..., Sₙ₋₁(x) yang menghubungkan titik data bersebelahan dengan derivatif pertama dan kedua yang berterusan.

Interpolasi Jiran Terdekat

Jiran terdekat memberikan nilai titik data terdekat kepada titik interpolasi. Ia tidak berterusan pada titik tengah antara titik data tetapi mudah dilaksanakan.

f(x) = y₁ di mana (x₁,y₁) adalah titik data dengan |x - x₁| minimum.

Aplikasi Interpolasi
  • Analisis Data: Mengisi jurang dalam siri data atau menganggarkan nilai antara ukuran.
  • Grafik Komputer: Mencipta lengkung dan permukaan yang licin daripada titik diskret.
  • Kaedah Berangka: Menyelesaikan persamaan pembezaan, integrasi berangka, dan masalah pengiraan lain.
  • Pemprosesan Isyarat: Membina semula isyarat berterusan daripada data yang disampel.
  • Kejuruteraan: Pemasangan lengkung, pemodelan fenomena fizikal, dan meramalkan tingkah laku sistem.
Memilih Kaedah Interpolasi

Pilihan kaedah interpolasi bergantung pada beberapa faktor:

  • Ciri Data: Adakah fungsi asasnya licin, berayun, atau tidak berterusan?
  • Sifat yang Dikehendaki: Keperluan untuk kesinambungan, kebolehdiferensian, atau pemeliharaan sifat tertentu.
  • Kecekapan Pengiraan: Sesetengah kaedah lebih intensif pengiraan daripada yang lain.
  • Toleransi Ralat: Berapa banyak ralat yang boleh diterima dalam nilai interpolasi?

Untuk data licin dengan beberapa titik, interpolasi polinomial mungkin berfungsi dengan baik. Untuk set data besar atau yang mempunyai tingkah laku yang berubah dengan cepat, spline kubik atau interpolasi linear mungkin lebih sesuai.

Penafian: Kalkulator ini menyediakan interpolasi matematik berdasarkan data input dan kaedah yang dipilih. Ketepatan keputusan bergantung pada kualiti data input dan kesesuaian teknik interpolasi yang dipilih untuk aplikasi khusus anda.

Apakah Itu Kalkulator Interpolasi?

Kalkulator Interpolasi adalah alat interaktif yang membantu anda menganggarkan nilai di antara titik data yang diketahui. Sama ada anda bekerja dengan carta, set data, atau fungsi matematik, kalkulator ini menggunakan teknik interpolasi untuk meramalkan nilai yang berada dalam julat data sedia ada.

Ia berguna dalam pelbagai bidang, seperti kejuruteraan, sains, visualisasi data, dan pendidikan matematik, di mana anggaran nilai yang hilang atau penciptaan lengkung yang lancar adalah penting.

Formula Interpolasi Linear:

\[ f(x) = y_1 + (x - x_1) \times \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Interpolasi Polinomial (Bentuk Lagrange):

\[ P(x) = \sum_{i=0}^{n-1} y_i \cdot \ell_i(x) \quad \text{di mana} \quad \ell_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n-1} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]

Segmen Spline Kubik:

\[ S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3 \]

Interpolasi Jiran Terdekat:

\[ f(x) = y_i \quad \text{di mana} \quad x_i \text{ adalah x yang paling hampir dengan } x \]

Cara Menggunakan Kalkulator Interpolasi

Alat ini menyediakan cara langkah demi langkah untuk memasukkan data dan mendapatkan hasil interpolasi yang tepat.

  • Pilih Kaedah Input Anda: Masukkan data secara manual, muat naik fail, atau hasilkan titik daripada fungsi matematik.
  • Pilih Jenis Interpolasi: Pilih daripada linear, polinomial, spline kubik, atau jiran terdekat.
  • Tetapkan Nilai X: Masukkan nilai x di mana anda ingin mencari y yang sepadan.
  • Sesuaikan Tetapan (Pilihan): Sesuaikan ketepatan perpuluhan, pilihan visualisasi, dan sama ada untuk membenarkan ekstrapolasi.
  • Klik "Kira Interpolasi": Lihat nilai anggaran, graf, formula, dan analisis tambahan.

Ciri Utama

  • Menyokong pelbagai kaedah interpolasi untuk fleksibiliti.
  • Boleh digunakan dengan input data manual, muat naik fail, atau fungsi matematik.
  • Visualisasi graf interaktif dengan zum dan titik berlabel.
  • Termasuk paparan formula dan analisis ralat untuk pemahaman yang lebih mendalam.
  • Eksport data ke CSV atau Excel untuk kegunaan lanjut.

Mengapa Menggunakan Kalkulator Ini?

Interpolasi berguna setiap kali anda perlu menganggarkan nilai di antara titik data yang diketahui. Ini termasuk:

  • Melengkapkan data yang hilang dalam set data atau hamparan.
  • Mencipta lengkung yang lancar dalam graf atau simulasi.
  • Memodelkan dan meramalkan berdasarkan nilai yang diketahui.
  • Kegunaan pendidikan untuk meneroka prinsip interpolasi secara interaktif.

Kalkulator ini melengkapi alat lain seperti kalkulator istilah jujukan, penyelesai perkembangan aritmetik, atau kalkulator siri harmonik, terutamanya apabila anda perlu mencari nilai yang terletak di antara titik yang ditetapkan daripada mengira keseluruhan jujukan.

Soalan Lazim

Bolehkah saya menggunakan ini untuk mengira nilai di luar julat data?

Ya, dengan mengaktifkan pilihan "Benarkan Ekstrapolasi", kalkulator boleh menganggarkan nilai di luar julat data yang anda sediakan. Walau bagaimanapun, hasilnya mungkin kurang boleh dipercayai.

Apakah perbezaan antara kaedah-kaedah ini?

  • Linear: Mudah, pantas, menggunakan garis lurus antara titik.
  • Polinomial: Lengkung lancar melalui semua titik, terbaik untuk set data kecil.
  • Spline Kubik: Lengkung lancar dengan kesinambungan dalam cerun, terbaik untuk set data besar atau lancar.
  • Jiran Terdekat: Melompat ke nilai titik terdekat, sesuai untuk data diskret.

Bagaimana ini dibandingkan dengan kalkulator lain?

Tidak seperti penyelesai formula jujukan atau penjana nombor Fibonacci yang mengira corak yang telah ditetapkan, Kalkulator Interpolasi memberi tumpuan kepada menganggarkan nilai yang tidak diketahui daripada data tersuai. Ia adalah alat yang bernilai bersama alat jujukan nombor atau pembantu formula perkembangan.

Adakah ini berguna untuk penjumlahan siri?

Walaupun ia tidak mengira jumlah siri seperti alat jumlah siri atau penyelesai siri aritmetik, ia membantu menganggarkan nilai individu, yang boleh menjadi sebahagian daripada analisis anda yang lebih luas.

Kesimpulan

Kalkulator Interpolasi ini adalah pembantu yang berguna untuk sesiapa sahaja yang bekerja dengan data, lengkung, atau anggaran matematik. Sama ada anda mengisi kekosongan, memvisualisasikan trend, atau mengajar konsep, ia menjadikan interpolasi intuitif dan mudah diakses.