Kalkulator Hubungan Ulangan

Kategori: Urutan dan Siri
- 31 Oktober 2025
| |

Selesaikan dan analisis hubungan rekursif, yang merupakan persamaan yang mendefinisikan urutan secara rekursif. Kalkulator ini menyokong hubungan rekursif linear dengan koefisien tetap, termasuk rekursi orde pertama dan kedua.

Jenis Rekursi

Opsyen Pengiraan

Opsyen Paparan

About Recurrence Relations

Hubungan rekursif adalah persamaan yang mendefinisikan urutan secara rekursif, di mana setiap terma ditentukan sebagai fungsi terma sebelumnya. Hubungan ini muncul dalam pelbagai bidang seperti matematik, sains komputer, ekonomi, dan biologi.

Jenis Hubungan Rekursif
  • Rekursi orde pertama: Setiap terma bergantung hanya pada terma yang segera sebelumnya (a_n = f(a_{n-1}))
  • Rekursi orde kedua: Setiap terma bergantung pada dua terma sebelumnya (a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}))
  • Rekursi linear: Hubungan antara terma adalah linear
  • Rekursi homogen: Hubungan boleh ditulis sebagai persamaan homogen
  • Rekursi tidak homogen: Hubungan termasuk terma tetap tidak sifar
Contoh Umum
  • Urutan aritmetik: a_n = a_{n-1} + d (menambah tetap untuk mendapatkan terma seterusnya)
  • Urutan geometri: a_n = r·a_{n-1} (mengalikan dengan nisbah tetap)
  • Urutan Fibonacci: a_n = a_{n-1} + a_{n-2} dengan a_0 = 0, a_1 = 1
  • Faktorial: n! boleh ditakrifkan sebagai hubungan rekursif di mana a_n = n·a_{n-1} dengan a_0 = 1
Menyelesaikan Hubungan Rekursif

Beberapa kaedah boleh digunakan untuk menyelesaikan hubungan rekursif:

  • Kaedah penggantian: Menggantikan hubungan rekursif ke dalam dirinya sendiri secara berulang
  • Kaedah persamaan ciri: Digunakan untuk rekursi homogen linear dengan koefisien tetap
  • Fungsi penjana: Kaedah yang kuat yang mengubah hubungan rekursif menjadi persamaan algebra
  • Teorem Master: Digunakan untuk rekursi pembahagian dan penaklukan dalam analisis algoritma

Memahami Hubungan Ulang

Hubungan ulang adalah cara matematik untuk mendefinisikan satu urutan nombor. Setiap istilah dalam urutan ditentukan dengan menerapkan formula tertentu kepada istilah-istilah sebelumnya. Sebagai contoh, dalam urutan Fibonacci, setiap nombor adalah jumlah daripada dua nombor sebelum ini. Ini menjadikan hubungan ulang sebagai alat yang berkuasa untuk menyelesaikan masalah dalam matematik, sains komputer, dan lebih lagi.

Bentuk umum hubungan ulang adalah:

\[ a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots, a_{n-k}) \]

Di sini:

  • \(a_n\) adalah istilah dalam urutan yang ingin kita kira.
  • \(f\) adalah fungsi yang mendefinisikan bagaimana istilah semasa bergantung kepada istilah-istilah sebelumnya.
  • \(a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots, a_{n-k}\) adalah istilah-istilah sebelumnya dalam urutan.

Bagaimana Menggunakan Kalkulator Hubungan Ulang

  1. Masukkan hubungan ulang dalam medan input yang dilabel “Hubungan Ulang (\(a_n\))”. Sebagai contoh: \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\).
  2. Sediakan istilah awal urutan dalam medan yang dilabel “Istilah Awal (dipisahkan dengan koma)”. Sebagai contoh: \(0, 1\) untuk urutan Fibonacci.
  3. Tentukan bilangan istilah (\(n\)) yang ingin anda kira.
  4. Klik butang Kira untuk menghasilkan urutan dan melihat proses pengiraan langkah demi langkah.
  5. Jika anda ingin memulakan semula, klik butang Kosongkan untuk menetapkan semula semua medan.

Contoh Praktikal

Anggap anda ingin mengira urutan Fibonacci. Berikut adalah cara anda boleh menggunakan kalkulator:

  • Masukkan \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\) dalam medan hubungan ulang.
  • Sediakan istilah awal: \(0, 1\).
  • Tetapkan bilangan istilah (\(n\)) kepada \(10\).
  • Klik Kira.

Kalkulator akan memaparkan 10 istilah pertama urutan Fibonacci (\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34\)) dan menunjukkan pengiraan untuk setiap langkah.

Manfaat Menggunakan Kalkulator

Kalkulator Hubungan Ulang berguna untuk:

  • Memahami dan memvisualisasikan urutan seperti urutan Fibonacci.
  • Meneroka hubungan ulang khusus untuk tujuan akademik atau penyelidikan.
  • Menghemat masa dalam pengiraan manual.
  • Menyediakan penjelasan langkah demi langkah untuk tujuan pendidikan.

Soalan Lazim

Apa itu hubungan ulang?

Hubungan ulang adalah formula yang mendefinisikan setiap istilah urutan berdasarkan satu atau lebih istilah sebelumnya. Sebagai contoh, dalam \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\), setiap istilah adalah jumlah daripada dua istilah sebelumnya.

Apa itu istilah awal?

Istilah awal adalah nilai permulaan bagi satu urutan. Ia diperlukan untuk mengira baki urutan menggunakan hubungan ulang. Sebagai contoh, dalam urutan Fibonacci, istilah awal adalah \(0\) dan \(1\).

Bolehkah saya menggunakan hubungan ulang khusus?

Ya, kalkulator membolehkan anda memasukkan sebarang hubungan ulang yang sah. Pastikan ia merujuk kepada istilah sebelumnya dengan betul (contohnya, \(a_{n-1}\), \(a_{n-2}\)).

Kenapa saya perlu menentukan bilangan istilah?

Bilangan istilah menentukan berapa banyak istilah urutan yang perlu dihasilkan oleh kalkulator. Anda boleh memilih sebarang nilai integer positif.

Apa yang berlaku jika input saya tidak betul?

Jika input tidak sah (contohnya, istilah awal bukan nombor atau formula tidak sah), kalkulator akan memberi amaran kepada anda untuk membetulkan input sebelum meneruskan.

Terokai Urutan dengan Mudah

Sama ada anda meneroka konsep matematik, menyelesaikan masalah, atau mengajar orang lain, Kalkulator Hubungan Ulang ini memudahkan proses tersebut. Cubalah hari ini untuk menemui keindahan urutan!