Kalkulator Derivatif Arah

Apa Itu Derivatif Arah?

Derivatif arah mengukur bagaimana fungsi berubah apabila anda bergerak dalam arah tertentu dari titik yang diberikan. Ia memperluas konsep derivatif separa dengan mempertimbangkan arah vektor daripada hanya menumpukan pada pembolehubah individu seperti x atau y.

• Dalam istilah yang mudah, ia mengira kadar perubahan fungsi f(x, y, z) pada titik tertentu dalam arah tertentu.
• Ia dinyatakan secara matematik sebagai:

D_v f = ∇f ⋅ v̂

Di sini: - ∇f adalah vektor gradien fungsi, yang mengandungi derivatif separa berkenaan semua pembolehubah. - v̂ adalah vektor arah yang dinormalisasi (panjang unit).

• Hasil dari derivatif arah adalah satu nombor tunggal yang memberitahu kita sama ada fungsi itu meningkat, menurun, atau tetap dalam arah yang diberikan.

Ciri Utama Kalkulator Derivatif Arah

• Input Dinamik: Masukkan sebarang fungsi multivariable, titik penilaian, dan vektor arah.
• Penjelasan Langkah demi Langkah: Kalkulator memberikan langkah-langkah terperinci, menunjukkan bagaimana gradien dan derivatif arah dikira.
• Visualisasi Grafikal: Graf menunjukkan tingkah laku fungsi sepanjang vektor arah.
• Contoh Terbina Dalam: Uji alat dengan cepat menggunakan contoh yang disediakan untuk fungsi biasa.

Cara Menggunakan Kalkulator Derivatif Arah

Medan Input:

1. Masukkan Fungsi: Nyatakan fungsi multivariable seperti x^2 + y^2 + z^2 atau sin(x) * cos(y).
2. Titik Penilaian: Berikan titik di mana derivatif akan dinilai (contohnya, 1,1,1).
3. Vektor Arah: Masukkan vektor di mana untuk mengira derivatif (contohnya, 1,2,3).

Dropdown Contoh:

• Pilih contoh yang telah ditetapkan untuk mengisi medan secara automatik:
• f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 di (1, 1, 1) dalam arah v = (1, 1, 1).
• f(x, y) = sin(x) * cos(y) di (0, 0) dalam arah v = (1, 1).
• f(x, y) = e^(x + y) di (1, 2) dalam arah v = (0, 1).

Butang:

• Kira: Lakukan pengiraan dan paparkan hasil, langkah, dan graf.
• Kosongkan: Tetapkan semula semua medan input dan output.

Contoh Panduan: f(x, y) = sin(x) * cos(y)

Input:

• Fungsi: sin(x) * cos(y)
• Titik: (0, 0)
• Vektor Arah: (1, 1)

Pengiraan:

1. Kira vektor gradien:
2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

4. Nilai di (0, 0):

5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

7. Normalisasikan vektor arah (1, 1):

8. Vektor unit: v̂ = (1/√2, 1/√2)

9. Kira derivatif arah: D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

Hasil:

• Derivatif arah: 1/√2

Visualisasi:

• Graf menunjukkan tingkah laku fungsi sepanjang vektor arah dari titik yang diberikan.

Manfaat Menggunakan Kalkulator

• Kecekapan: Mengautomatikkan pengiraan dan penilaian manual yang membosankan.
• Kejelasan: Menjelaskan proses langkah demi langkah, ideal untuk pembelajaran atau pengesahan.
• Keserbagunaan: Mengendalikan fungsi dengan dua atau tiga pembolehubah dan mengira derivatif dalam sebarang arah.

Bila Perlu Menggunakan Kalkulator Derivatif Arah

• Matematik dan Fizik: Menganalisis gradien dan kadar perubahan dalam fungsi multivariable.
• Pembelajaran Mesin dan AI: Menilai tingkah laku fungsi kos sepanjang arah gradien.
• Kejuruteraan dan Pengoptimuman: Menilai perubahan dalam fungsi yang tertakluk kepada kekangan atau arah tertentu.

Output Grafikal

• Graf dihasilkan untuk menunjukkan tingkah laku fungsi sepanjang vektor arah.
• Paksi x mewakili t, jarak sepanjang vektor arah.
• Paksi y mewakili f(t), nilai fungsi sepanjang jarak itu.